- 直线的方程
- 共3297题
圆x2+y2=1与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）求AB所在的直线方程；
（Ⅱ）过点A做两条互相垂直的直线分别与圆交于P，Q两点，试求△PAQ面积的最大值，并指出此时PQ所在的直线方程．
正确答案
（I）由题可知A（1，0），B（0，1）…（1分），所以AB所在的直线方程y=-x+1…（3分）
（II）解法1：由题可知直线AP，AQ的斜率都存在，且不能为0，…（4分）
设AP的斜率为k，则AQ的斜率为-
所以do-AP=
同理得：|AQ|=
（当且仅当k=±1时等号成立）
所以△PAQ面积的最大值为1，此时PQ的方程为x=0…（10分）
解法2：由题可知∠PAQ始终为直角，所以PQ必通过圆心，从而|PQ|=2
当A点距离PQ最远时，即△PAQ为等腰直角三角形时，
△PAQ面积取最大值1
此时PQ的方程为x=0
过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线方程是______．
正确答案
∵过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线过点（1，3）和（2，0），
∴其方程为：
整理得3x+y-6=0．
故答案为：3x+y-6=0．
已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+(a-1)y+a2-1=0．
（1）若l1⊥l2，求a的值；
（2）若l1∥l2，求a的值．
正确答案
（1）l1⊥l2 时，a×1+2×（a-1）=0，
解得a=
∴a=
（2）∵a=1时，l1不平行l2，
∴l1∥l2⇔
解得a=-1．
若直线
正确答案
把直线
由于此直线和直线4x+ky=1垂直，
∴-
故答案为-6．
设直线l1：ax-2y+1=0，l2：（a-1）x+3y=0，若l1∥l2，则实数a的值是______．
正确答案
直线l1为ax-2y+1=0，即y=
∵l1∥l2，∴
解得：a=
故答案为：
过点P（4，3）作直线l，直线l与x，y的正半轴分别交于A，B两点，O为原点，当|OA|+|OB|最小时，求直线l的方程．
正确答案
由题意可得：设直线的斜率为k，
因为直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点，
所以得到k＜0．
则直线l的方程为：y-3=k（x-4），整理可得：kx-y+3-4k=0，
令x=0，得y=3-4k，所以B（0，3-4k）；
令y=0，得到x=4-
所以|OA|+|OB|=3-4k+4-
因为k＜0，则|OA|+|OB|=7+（-4k）+
当且仅当-
因为k＜0，所以k=-
所以直线l的方程为
求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线的方程．
正确答案
当直线不过原点时，设直线的方程为
此时，直线方程为x+2y+1=0．
当直线过原点时，直线的方程为y=kx，把点A（-5，2）代入可得，∴k=-
即2x+5y=0，
综上可得，满足条件的直线方程为：2x+5y=0或x+2y+1=0．
直线x+a2y+1=0与直线（a2+1）x-by+3=0互相垂直，a，b∈R，则|ab|的范围是______．
正确答案
∵直线x+a2y+1=0与直线（a2+1）x-by+3=0互相垂直
∴
∴|b|=|
∴|ab|=|a•
∴|ab|的范围是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程．
正确答案
（1）曲线方程为（x+1）2+（y-3）2=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆．
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴圆心（-1，3）在直线上．代入得m=-1．
（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=-x+b．
将直线y=-x+b代入圆方程，得2x2+2（4-b）x+b2-6b+1=0．
△=4（4-b）2-4×2×（b2-6b+1）＞0，得2-3
由韦达定理得x1+x2=-（4-b），x1•x2=
y1•y2=b2-b（x1+x2）+x1•x2=
∵
即b2-6b+1+4b=0．
解得b=1∈（2-3
∴所求的直线方程为y=-x+1．
直线x-my=3m+3与直线mx-y=m+1平行，则m=______．
正确答案
由题意知，两直线的斜率存在，
∵x-my=3m+3与直线mx-y=m+1平行，
∴
解得m=1
故答案为：1
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