热门试卷

解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，

∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，

即

当且仅当a=b=c=时，取等号

∴当a=b=c=时，的最小值为1．

（1）解：柯西不等式得：（x+1+y+1+z+1）（1+1+1）≥（++）2，

∵++=2，x+y+z=1

∴x+1=y+1=z+1，

∴x=y=z=；

（2）证明：∵（1+x+1+y+1+z）（++）≥（1+1+1）2，x+y+z=1．

∴++≥，

∴++=1-+1-+1-=3-（++）≤3-=．

∴++≤．

解：（I）当z=1时，∵x+2y+3z=1，∴x+2y=-2，即

∴|x+y|+|y+1|＞2可化简|x-2|+|x|＞4，

∴x＜0时，-x+2-x＞4，∴x＜-1；

0≤x≤2时，-x+2+x＞4不成立；

x＞2时，x-2+x＞4，∴x＞3

综上知，x＜-1或x＞3；

（II）∵（）[（x+1）+2（y+2）+3（z+3）]≥（x+2y+3z）2∴（）（x+2y+3z+14）≥（x+2y+3z）2，

∴

∴u，当且仅当，又x+2y+3z=1，即x=，y=，z=时，umin=．

（1）证明：a2+b2+c2+（++）2≥3+9≥6

取等条件a=b=c=；

（2）解：（++）2≤（1+1+1）[（）2+（）2+（）]2=18

所以++的最大值为3，取等条件a=b=c=．

解：因为a+2b+c=1，a2+b2+c2=1，所以a+2b=1-c，a2+b2=1-c2．

由柯西不等式：（12+22）（a2+b2）≥（a+2b）2，…（3分）

所以5（1-c2）≥（1-c）2，

整理得，3c2-c-2≤0，

解得．∴c的取值范围是．　　　　    …（7分）

解：由柯西不等式，得[x+（-2）y+（-3）z]2≤[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2），

即（x-2y-3z）2≤14（x2+y2+z2），…（5分）

即16≤14（x2+y2+z2）．

所以，即x2+y2+z2的最小值为．…（10分）

解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+c，

当且仅当-a≤x≤b时，等号成立，

又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，

所以f（x）的最小值为a+b+c，

所以a+b+c=4；

（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，

（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，

即a2+b2+c2≥

当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．

所以a2+b2+c2的最小值为．

证明：由于a＞0，b＞0，c＞0，设=x，=y，=z，得x＞0，y＞0，z＞0．

（x+y+z）（++）≥=9．

当且仅当x=y=z时等号成立．

即（++）（++）≥9，

当且仅当==时等号成立．