- 柯西不等式与排序不等式
- 共105题
已知：x+2y+3z=1,则
正确答案
试题分析：利用题中条件：构造柯西不等式（x2+y2+z2）×（1+4+9 ）≥（x+2y+3z）2。
已知x+2y+3z=1，∴x2+y2+z2≥
则x2+y2+z2的最小值为
点评：利用题中条件，构造柯西不等式（x2+y2+z2）×（1+4+9 ）≥（x+2y+3z）2是解题的关键。
（本题12分）已知实数a,b,c,d满足a＋b＋c＋d=3，a2＋2b2＋3c2＋6d2=5，
求证：（Ⅰ）
（Ⅱ）
正确答案
（Ⅰ）应用柯西不等式 
（Ⅱ）由（Ⅰ）得（3－a）2＜5－a2，推出
试题分析：（Ⅰ）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得（3－a）2＜5－a2
点评：中档题，关键是根据已知条件，构造柯西不等式，对考查考生创新思维，有较好的作用。
（1）已知实数
(2)在极坐标系中
正确答案
（1）．2;（2）．
试题分析：（1）由柯西不等式得：
（2）曲线
点评：本题直接考查柯西不等式和极坐标方程与直角坐标方程的互化，我们要熟记它们的互化公式。属于基础题型。
函数y=
正确答案
由题意得，
∴此函数的定义域是[5，6]，
由柯西不等式得，
y=
当且仅当
此时函数取得最大值为
故答案为：
(选做题)设a，b，c均为正实数．
（1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；
（2）求证：
正确答案
解:（1）因为a，b，c 均为正实数，由柯西不等式得，
（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=1，当且仅当a=b=c= 
∴a2+b2+c2 的最小值为
（2）∵a，b，c均为正实数，
∴可得 
同理 
三个不等式相加得 
当且仅当a=b=c时等号成立．
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)求实数m的取值范围。
正确答案
解：(Ⅰ)由柯西不等式，得
即
∴
当且仅当
(Ⅱ)由已知，得
∴
∴
又∵
∴
∴
若2x+3y=1，求4x2+9y2的最小值，并求出最小值点．
正确答案
由柯西不等式（4x2+9y2）（12+12）≥（2x+3y）2=1，
∴4x2+9y2≥
当且仅当2x•1=3y•1，即2x=3y时取等号．
由
∴4x2+9y2的最小值为
实数x，y，z满足x2+y2+z2=1，则
正确答案
已知函数f（x）=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+
正确答案
解：因为
所以
即m=
因为a-b+2c=3，由柯西不等式得
所以
当且仅当
即
所以m的最小值为
设实数x，y，z满足x+y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值，并求此时x，y，z的值。
正确答案
解：∵
∴
当且仅当
∵
∴
∴
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