- 平面与平面之间的位置关系
- 共434题
若平面α⊥平面β，直线n⊂α，m⊂β，m⊥n，则（ ）
正确答案
设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
（1）若n∥α，m∥β，α∥β，则n∥m； （2）若m⊥α，n∥α，则m⊥n
（3）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；（4）若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
其中真命题的个数是（ ）
正确答案
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．
正确答案
∵△ABC是正三角形，
∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥侧面BB1C1C，
且两平面交线为BC，
∴AE⊥侧面BB1C1C．
连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面BB1C1C所成的角．
∴∠ADE=45°．
在Rt△AED中，
∴此正三棱柱的侧棱长为
（Ⅱ）过E作EF⊥BD于F，连接AF．
∵AE⊥侧面BB1C1C，∴EF是AF在平面BCD内的射影．
由三垂线定理，可知AF⊥BD．
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角．
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1，
∴
又
∴在Rt△AEF中，
故二面角A-BD-C的大小为arctan3．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，
过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．
∴EG的长为点E到平面ABD的距离．
在Rt△AEF中，
∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为
解析
∵△ABC是正三角形，
∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥侧面BB1C1C，
且两平面交线为BC，
∴AE⊥侧面BB1C1C．
连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面BB1C1C所成的角．
∴∠ADE=45°．
在Rt△AED中，
∴此正三棱柱的侧棱长为
（Ⅱ）过E作EF⊥BD于F，连接AF．
∵AE⊥侧面BB1C1C，∴EF是AF在平面BCD内的射影．
由三垂线定理，可知AF⊥BD．
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角．
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1，
∴
又
∴在Rt△AEF中，
故二面角A-BD-C的大小为arctan3．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，
过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．
∴EG的长为点E到平面ABD的距离．
在Rt△AEF中，
∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为
设a，b，c是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不重合的平面，则下列命题中，逆命题成立的是______．
①．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b．
②．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c．
③．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β．
④．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β．
正确答案
①②④
解析
解：①的描述即为三垂线定理，其逆命题也一定成立，故①满足条件；
②的逆命题为当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α，根据线面平行的判定定理可得②满足条件；
③的逆命题为当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，由面面垂直的性质定理，可得③不满足条件；
④的逆命题为当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β，由面面平行的性质，我们可得④满足条件．
故答案为：①②④
已知平面α、β、γ，直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ=m，β∩γ=l，给出下列四个结论，则其中正确的是______．
①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β．
正确答案
②④
解析
又β∩γ=l，∴l⊂β，由l⊥α，得α⊥β；即④正确．
而①③条件不充分．
故答案为：②④．
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