- 平面与平面之间的位置关系
- 共434题
若a、b是异面直线，则一定存在两个平行平面α、β，使（ ）
正确答案
解析
解：对于A，因为a、b是异面直线，根据异面直线的定义可得存在两个平行平面α、β，使a⊂α，b⊂β，故A正确；
对于B，若存在两个平行平面α、β，使a⊥α，b⊥β，则有a∥b的矛盾，故B不正确；
对于C，若存在两个平行平面α、β，使a∥α，b⊥β，则有a、b互相垂直，但题设中并没有a⊥b这一条件，故C不正确；
对于D，若存在两个平行平面α、β，使a⊂α，b⊥β，则b⊥α，从而a⊥b，但题设中并没有a⊥b这一条件，故D不正确．
故选A
（I）求证：EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE；
（Ⅲ）求二面角F-BD-A的大小．
正确答案
所以BC⊥平面ABEF
所以BC⊥EF
因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45，
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE
因为BC⊂平面ABCD，BE⊂平面BCE，
BC∩BE=B
所以EF⊥平面BCE
（ II）取BE的中点N，连接CN，MN，则MN=
∴PMNC为平行四边形，所以PM∥CN
∵CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，
∴PM∥平面BCE．
（III）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知EA⊥平面ABCD、
作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA、从而FG⊥平面ABCD，
作GH⊥BD于H，连接FH，则由三垂线定理知BD⊥FH、
∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角、
∵FA=FE，∠AEF=45°，
∠AEF=90°，∠FAG=45°、
设AB=1，则AE=1，AF=
在Rt△BGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+
在Rt△FGH中，
∴二面角F-BD-A的大小为
解析
所以BC⊥平面ABEF
所以BC⊥EF
因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45，
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE
因为BC⊂平面ABCD，BE⊂平面BCE，
BC∩BE=B
所以EF⊥平面BCE
（ II）取BE的中点N，连接CN，MN，则MN=
∴PMNC为平行四边形，所以PM∥CN
∵CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，
∴PM∥平面BCE．
（III）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知EA⊥平面ABCD、
作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA、从而FG⊥平面ABCD，
作GH⊥BD于H，连接FH，则由三垂线定理知BD⊥FH、
∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角、
∵FA=FE，∠AEF=45°，
∠AEF=90°，∠FAG=45°、
设AB=1，则AE=1，AF=
在Rt△BGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+
在Rt△FGH中，
∴二面角F-BD-A的大小为
设l，m是两条不同的直线，α、β、γ是三个互不相同的平面，则下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，看正方体从同一顶点出发的三个平面即可知道其为假命题；
对于B，当l⊥β，β⊥γ时，l与γ可以平行，但l也可以在平面γ内，故为假命题；
对于C，当α上不共线的三点分布在平面β的两侧时，α与β相交，故为假命题；
对于D，因为垂直与同一平面的两直线平行，所以为真命题．
故选 D．
如果一个正方形ABCD的三个顶点A，B，C到一个面的距离分别为2，4，6，那么，这个正方形的第四个顶点D到这个面的距离是______．
正确答案
3
解析
解：如下图所示：
分别延长D1A1，DA交于点M，CB和C1B1的延长线交于点N，则
∴△BB1N∽△CC1N，
∴
∴
∵AA1=2，
∴DD1=3
故答案为：3．
给出下列四个命题：
①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
②如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ
④α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
其中为真命题的序号为______．
正确答案
①③④
解析
解：对于①，如果α⊥β，设它们的交线为l，
在α内作垂直于l的直线m，可得m⊥β，故①正确；
对于②，如果α⊥β，设它们的交线为l，
在α内作直线n与l相交且不垂直，则n不能与β垂直，故②错；
对于③，如果α⊥γ，β⊥γ，设α、γ的交线为a，β、γ的交线为b，
在γ内取a、b外的一点O，作OA⊥a于A，OB⊥b于B，
∵α⊥γ，α∩γ=A，OA⊂γ，OA⊥a
∴OA⊥α
∵α∩β=l⇒l⊂α
∴OA⊥l，同理OB⊥l
∵OA、OB⊂γ，OA∩OB=O
∴l⊥γ，故③正确；
对于④，因为α∥β且m⊥α，所以m⊥β
又因为β∥γ，所以m⊥γ，故④正确．
故答案为：①③④
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