- 平面与平面之间的位置关系
- 共434题
设m、r是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A选项中的命题是正确的，分别垂直于两个平面的两条直线一定垂直，故不是正确选项；
B选项中的命题是错误的，因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故是正确选项；
C选项中的命题是正确的，因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故不是正确选项；
D选项中的命题是正确的因为n⊥β且α∥β，可得出n⊥α，再由m⊥α，可得出m∥n故不是正确选项．
故选B
给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是______．
正确答案
②④
解析
解：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；
由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故③不对；
若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．
故应填②④
（1）A′C⊥BD； （2）∠BA′C=90°；
（3）CA′与平面A′BD所成的角为30°；
（4）四面体A′-BCD的体积为
正确答案
（2）（4）
解析
解：∵四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=
由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是（2）正确；
由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，CD⊥A′D，∵A′D=CD，∴△A′CD为等腰直角三角形，∴∠A′DC=45°，则CA′与平面A′BD所成的角为45°，知（3）不正确；
VA′-BCD=VC-A′BD=
故答案为：（2）（4）．
空间给定不共面的A、B、C、D四个点，其中任意两点的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A、B、C、D中有三个点到α的距离相同，另外一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面的个数是（ ）
正确答案
解析
解：首先取3个点相等，不相等的那个点有4种取法．
然后分3个点到平面α的距离相等，有以下2种可能性：
①全同侧，这样的平面有2个；
②不同侧，必然2个点在一侧，另1个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线．考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，有6个．
所以共有8个．
综上满足条件的这样的平面共有4×8=32个．
故选D．
设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A：直线m也可以在平面β内．
对于B：α与β也可以相交．可以举出墙角的例子．
对于C：根据线面垂直的判定和性质可得结论是正确的．
对于D：m与n可能平行也可能相交也可能异面．
故选C．
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