- 平面与平面之间的位置关系
- 共434题
已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
其中真命题的个数是______．
正确答案
1个
解析
解：①是假命题，因为当m⊂α，n∥α时，直线m，n不一定平行；
②是假命题，因为当m∥α，m∥β时，平面α，β可能平行，也可能相交；
③是假命题，因为当m⊥α，m⊥n时，不一定有n∥α，也可能是n⊂α；
④是真命题，因为当m⊥α，m⊥β时，由垂直与同一条直线的两个平面平行，得α∥β；
所以，真命题只有1个．
故答案为：1个．
正确答案
解析
解：：∵A′D=A′E，∴DE⊥A′G，∵△ABC是正三角形，∴DE⊥AG，又A′G∩AG=G，∴DE⊥平面A′GF，从而平面ABC⊥平面A′AF，且两平面的交线为AF，∴A‘在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；
∵E、F为线段AC、BC的中点，∴EF∥AB，∴∠A′EF就是异面直线A′E与BD所成的角，当（A'E）2+EF2=（A'F）2时，直线A'E与BD垂直，故B不正确；
∵三棱锥A′-FED的底面面积S△FED的面积为定值，由（1）知，A′到AF的距离即为此三棱锥的高，故当平面ADE⊥平面DEF时，三棱锥的高最大为A′G，从而三棱锥体积最大，故C正确
由A知，平面A'GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A'GF⊥平面BCED，故D正确；
故选 B
下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若
②若
③若
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
正确答案
解析
解：①中平面α，β可能平行，也可能重合，不正确，
②α⊥β，则成90°，由圆的内接四边形对顶角互补知法向量垂直，反之当法向量垂直，则成90°，由内接四边形对顶角互补，知两平面垂直．正确；
③，a与α共面，则a在平面内或与平面平行，所以平面的法向量与直线a垂直，正确．
④若两个平面的法向量不垂直，则成角不是90°，则由内接圆的四边形对顶角互补知两平面所成的角不是90°，正确．
故选C
下列命题不正确的是（ ）
正确答案
解析
解：如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，
由线面垂直的定义，可得该直线与另一个平面垂直，
由面面垂直的判定定理我们可得两平面垂直，故A正确；
如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，
则存在两条相交直线与另一个平面平行，
由面面平等的判定定理得两平面平行，故B正确；
如果一条直线和一个平面平行，
经过这条直线的平面和这个平面相交，
由线面平行的性质定理，那么这条直线和交线平行，故C正确；
如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，
则这两条直线可能垂直，也可能不垂直，故D错误
故选D
设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
其中正确命题的序号为______．
正确答案
④
解析
解：当m∥n，n⊂α，则m⊂α也可能成立，故①错误；
当m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m与n相交时，α∥β，但m与n平行时，α与β不一定平行，故②错误；
若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行也可能异面，故③错误；
若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，由面面平行的性质，易得n⊥β，故④正确
故答案为：④
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