- 平面与平面之间的位置关系
- 共434题
已知平面α∥平面β，直线l⊂α，α与β之间的距离为d，有下列四个命题：
①β内有且仅有一条直线与l的距离为d；
②β内所有的直线与l的距离都等于d；
③β内有无数条直线与l的距离为d；
④β内所有直线与α的距离都等于d．
其中真命题是（ ）
正确答案
解析
解：已知平面α∥平面β，直线l⊂α，α与β之间的距离为d，
对于①，β内有且仅有一条直线与l的距离为d是错误的；因为β内有无数条直线与l的距离为d；
对于②，β内所有的直线与l的距离都等于d也是错误的；因为β内与l平行的直线有无数条，并且距离不等；
对于③，β内有无数条直线与l的距离为d是正确的；因为与两个平面的垂线段垂直相交的直线之间的距离都是d，有无数条；
对于④，β内所有直线与α的距离都等于d是正确的；因为两个平面的距离为d，β内直线与α平行，所以④正确．
故选D．
正确答案
解析
证明：由侧面PAD与侧面PBC相交，侧面PAB与侧面PCD相交，
设两组相交平面的交线分别为m，n，
由m，n决定的平面为β，
作α与β且与四条侧棱相交，
则由面面平行的性质定理我们易得截面必为平行四边形．
故选D．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；
（3）在满足（2）的情况下，求二面角G-AB-C的平面角的正切值．
正确答案
∴PA2+AC2=PC2，∴PA⊥AC；
又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，
同理可得PA⊥AB
∵AC∩AB=A，∴PA⊥平面ABC
∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．
（2）如图所示取PC的中点G，
连接AG，BG，∵PF：FC=3：1，∴F为GC的中点
又D、E分别为BC、AC的中点，
∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F，
∴面ABG∥面DEF．
即PC上的中点G为所求的点．
（3）由（2）知G这PC的中点，连接GE，
∴GE⊥平面ABC，过E作EH⊥AB于H，连接GH，则GH⊥AB，
∴∠EHG为二面角G-AB-C的平面角．
∵
∴
∴
∴二面角G-AB-C的平面角的正切值为
解析
∴PA2+AC2=PC2，∴PA⊥AC；
又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，
同理可得PA⊥AB
∵AC∩AB=A，∴PA⊥平面ABC
∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．
（2）如图所示取PC的中点G，
连接AG，BG，∵PF：FC=3：1，∴F为GC的中点
又D、E分别为BC、AC的中点，
∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F，
∴面ABG∥面DEF．
即PC上的中点G为所求的点．
（3）由（2）知G这PC的中点，连接GE，
∴GE⊥平面ABC，过E作EH⊥AB于H，连接GH，则GH⊥AB，
∴∠EHG为二面角G-AB-C的平面角．
∵
∴
∴
∴二面角G-AB-C的平面角的正切值为
已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则m⊥l；
②若α⊥β，则m∥l；
③若m⊥l，则α∥β
④若m∥l，则α⊥β
其中正确命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：（1）中，若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．
（2）中，若α⊥β，且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．
（3）中，若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．
（4）中，若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．故选B．
设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；
③若α∩β=l，直线a⊂α，a⊥l，则α⊥β；
④若a⊂α，b⊂α，a⊥l，b⊥l，则l⊥α．
上述命题中，正确命题的序号是______．
正确答案
①②
解析
解：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，根据面面平行的判定可得α∥β正确；
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，根据线面平行的判定可得l∥α正确；
③若α∩β=l，直线a⊂α，a⊥l，根据面面垂直的判定，可得α⊥β不正确；
④若a⊂α，b⊂α，a⊥l，b⊥l，a∩b时，l⊥α，故不正确．
故答案为：①②．
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