- 平面与平面之间的位置关系
- 共434题
m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则有（ ）
正确答案
解析
解：对于A，因为m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，不一定得到n∥α；
α⊥β且m⊥α⇒m∥β或m∈β，又n∥β，容易知道m，n的位置关系不定，因此B错误；
由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故C正确．
若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β，n与β斜交，n⊂β，均有可能，故D不正确．
故选：C．
平面α和平面β平行的条件可以是（ ）
正确答案
解析
解：如图A中，在平面α内与a平行的直线有无穷多条直线都与β平行，但是平面α和平面β不平行，选项A不正确；
直线a∥α，直线b∥β，且直线a⊄α，直线b⊄β，如图B满足已知条件，但是平面α和平面β不平行，选项B不正确；
直线a∥β，直线b∥α，且直线a⊂α，直线b⊂β，如图C满足已知条件，但是平面α和平面β不平行，选项B不正确；
α内的任何直线都与β平行，就是α内的任何直线都与β都没有公共点，即平面α与平面β，没有公共点，所以两个平面平行，选项D正确．
故选D．
已知平面α，β和直线m，则满足下列条件中______ （填上所有正确的序号）能使 m⊥β成立．
①m∥α，②m⊥α；③m⊂α；④α∥β．
正确答案
②④
解析
解：利用线面垂直的判定方法，可得m⊥α，α∥β能使m⊥β成立，
故答案为：②④
已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥l，m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；
④若α∩γ=m，β∩γ=l，且α∥β，则m∥l．
其中真命题是（ ）
正确答案
解析
解：对于①，m⊥α说明直线m与平面α所成的角为90度，
因为m∥l，所以直线l与平面α所成的角等于直线m与平面α所成的角
所以l与平面α所成的角也为90度，l⊥α，故①正确；
对于②，若m∥l，且m∥α，可得l与α平行或l在α内，故②错误；
对于③，若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，
以三棱柱为例，三个侧面分别为α、β、γ，它们的交线为三条侧棱，可得l∥m∥n，
再以三棱锥为例，三个侧面分别为α、β、γ，它们的交线为三条侧棱，可得l、m、n交于同一点，
所以l∥m∥n，或l、m、n交于同一点，故③错；
对于④，若α∥β，说明α、β没有公共点，再根据α∩γ=m，β∩γ=l，
说明m、l分别在α、β内，没有公共点，而且m、l共面于γ，
所以m∥l，故④正确．
综上所述，得①④为真命题，
故选C．
已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，给出下列四个命题
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β
②若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
③若m∥n，m⊥α，则n⊥α
④若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
其中正确命题的个数为（ ）
正确答案
解析
解：①因为α、β是不重合的平面，m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知α∥β，故①正确；
②若α∩β=a时，m⊂α，n⊂β，m∥n∥a，也满足题设条件，故②不正确；
③若m∥n，m⊥α，根据两条平行线中有一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面，可知n⊥α，故③正确；
④若m⊥α，m⊂β，根据如果一个平面经过另一平面的垂线，那么面面垂直，可知α⊥β，故④正确
故正确命题的个数为3个
故选C．
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