- 平面与平面之间的位置关系
- 共434题
如图，正方形ABCD的边长为a，请设计三条虚线，沿虚线翻折后，形成侧面为三个直角三角形，地面为等腰三角形的三棱锥．
（1）找出上诉述棱锥中互相垂直的面，并证明之；
（2）求该三棱锥的体积．
正确答案
解：（1）如图①，取AB、AD的中点E、F，分别沿EC、CF、FE折叠，即可得到符合题意的三棱锥，如图②所示．
在图②所示三棱锥中，平面CAE⊥平面AEF，平面CAF⊥平面AEF且平面CAE⊥平面CAF．
证明如下：
∵CA⊥AE，CA⊥AF，且AE、AF是平面AEF内的相交直线
∴CA⊥平面AEF，
∵CA⊂平面CAE、CA⊂平面CAF，
∴平面CAE⊥平面AEF，平面CAF⊥平面AEF，
同理可证出平面CAE⊥平面CAF；
（2）由（1），可得AE、AF、AC两两互相垂直，CA⊥平面AEF，
可得三棱锥A-CEF的体积为
=
解析
解：（1）如图①，取AB、AD的中点E、F，分别沿EC、CF、FE折叠，即可得到符合题意的三棱锥，如图②所示．
在图②所示三棱锥中，平面CAE⊥平面AEF，平面CAF⊥平面AEF且平面CAE⊥平面CAF．
证明如下：
∵CA⊥AE，CA⊥AF，且AE、AF是平面AEF内的相交直线
∴CA⊥平面AEF，
∵CA⊂平面CAE、CA⊂平面CAF，
∴平面CAE⊥平面AEF，平面CAF⊥平面AEF，
同理可证出平面CAE⊥平面CAF；
（2）由（1），可得AE、AF、AC两两互相垂直，CA⊥平面AEF，
可得三棱锥A-CEF的体积为
=
已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．
其中真命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：m∥α，n∥α，时，m与n可能平行、可能异面也可能相交，故①错误；
m∥α，n⊥α时，存在直线l⊂α，使m∥l，则n⊥l，也必有n⊥m，故②正确；
m⊥α，m∥β时，直线l⊂β，使l∥m，则n⊥β，则α⊥β，故③正确；
故选C
α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α⊥β的是（ ）
正确答案
解析
解：由a⊥α，a⊥β可得α∥β，A错误；
由a⊂α，a⊥β可得α⊥β（平面α经过平面β的垂线a），B正确；
由a⊂α，b⊂β，a⊥b不一定得到α⊥β，α，β还可能是一般的相交，也可能平行，C错误；
由a⊂α，b⊥a，b∥β不一定得到α⊥β，α，β还可能是一般的相交，也可能平行，D错误．
故选：B．
已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，下面有三个命题：
①α∥β⇒m⊥n；
②α⊥β⇒m∥n；
③m∥n⇒α⊥β；
则真命题的个数为（ ）
正确答案
解析
解：对于①，由α∥β和直线m⊥平面α，可得直线m⊥平面β，又直线n⊂平面β，所以有m⊥n，故①为真命题；
对于②，由直线m⊥平面α和α⊥β，可得直线m∥β或直线m⊂β，当直线m∥β时，m和n可以平行，也可以异面，故②为假命题；
对于③，由直线m⊥平面α和m∥n，可得n⊥β，又直线n⊂平面β，所以α⊥β，故 ③为真命题．
故真命题有两个：①③．
故选C．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角B-PC-A的余弦值．
正确答案
则B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4），
∴
∴
所以PC⊥BD．
（Ⅱ）易证
设面PBC的法向量n=（a，b，c），
所以
所以面PBC的法向量n=（6，4，1），
∴cosθ=-
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，
所以二面角B-PC-A的余弦值为
解析
则B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4），
∴
∴
所以PC⊥BD．
（Ⅱ）易证
设面PBC的法向量n=（a，b，c），
所以
所以面PBC的法向量n=（6，4，1），
∴cosθ=-
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，
所以二面角B-PC-A的余弦值为
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