热门试卷

解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，

由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，

所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，

则PN⊥BC（三垂线定理

因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=45°

由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以∠PQR=β

在Rt△PNR中，NR=PRcot45°，所以NR=PR．

在Rt△MNR中，MR=，

在Rt△PMR中，，

又已知0°＜θ＜90°，所以．

在Rt△PRQ中，．

故线段PQ的长为．

解：（Ⅰ）取AB的中点G，连接CG、FG．

因为CD∥AE，GF∥AE，所以CD∥GF．

又因为CD=1，，所以CD=GF．

所以四边形CDFG是平行四边形，DF∥CG．（2分）

在等腰Rt△ACB中，G是AB的中点，所以CG⊥AB．

因为EA⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，所以EA⊥CG．

而AB∩EA=A，所以CG⊥平面ABE．

又因为DF∥CG，所以DF⊥平面ABE．（6分）

（Ⅱ）因为DF⊥平面ABE，DF⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABE．

过点A作AM⊥BE于M，则AM⊥平面BDE，所以AM⊥BD．

过点M作MN⊥BD于N，连接AN，则BD⊥平面AMN，所以BD⊥AN．

所以∠ANM是二面角A-BD-E的平面角．（10分）

在Rt△ABE中，．

因为，所以△ABD是等边三角形．又AN⊥BD，所以，NM=．

在Rt△AMN中，．

所以二面角A-BD-E的余弦值是．（12分）

（1）证明：如图1

∵底面ABCD是正方形；

∴BC⊥DC；

∵SD⊥底面ABCD；

∴DC是SC在平面ABCD上的射影

由三垂线定理得BC⊥SC

（2）解：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，

∴可以把四棱锥S-ABCD补形为长方体A1B1C1S-ABCD，如图2

面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，

∵SC⊥BC，BC∥A1S

∴SC⊥A1S

又SD⊥A1S，

∴∠CSD为所求二面角的平面角

在Rt△SCB中，由勾股定理得在Rt△SDC中，

由勾股定理得SD=1，

∴∠CSD=45°即面ASD与面BSC所成的二面角为45°

证明：（1）

∵E、P分别为AC、A′C的中点，

∴EP∥A′A，又A′A⊂平面AA′B，EP⊄平面AA′B

∴即EP∥平面A′FB；

（2）∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC

∴BC⊥A′E，而AE与EC相交∴BC⊥平面A′EC

BC⊂平面A′BC

∴平面A′BC⊥平面A′EC；

（3）在△A′EC中，P为A′C的中点，∴EP⊥A′C，

在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C

由（2）知：BC⊥平面A′EC又A′A⊂平面A′EC

∴BC⊥AA′

∴A′A⊥平面A′BC．