- 平面与平面之间的位置关系
- 共434题
A1
B2
C
D4
正确答案
解析
分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，
连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，
∴AC=PD=2
又∵
当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．
故答案选C．
设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；
④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m．
正确答案
解析
解：对于①，当m∥l，m⊥α时，l⊥α，∴①正确；
对于②，当m∥l，m∥α时，l∥α，或l⊂α，∴②错误；
对于③，当α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n时，l∥m∥n，或l、m、n交于一点，∴③错误；
对于④，当α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β时，l∥m，∴④正确．
综上，正确的命题为①④．
故选：B．
设α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列4个命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β；
③若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β；④若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b．
其中正确命题的序号是______．
正确答案
③
解析
①：平面AC为平面α，直线A1D1，和直线A1B1分别是直线a，b，
显然满足a∥α，b∥α，而a与b相交，故命题①不正确；
②：平面AC为平面α，平面AD1为平面β，
直线A1D1，和直线BC分别是直线a，b，
显然满足a∥α，b∥β，a∥b，而α与β相交，故命题②不正确；
③分别求直线a，b的一个方向向量
∵a⊥b，∴
∵a⊥α，b⊥β，
∴
∴α⊥β；
④平面AC为平面α，直线AD1，和直线CD1分别是直线a，b，
显然满足a，b在平面α内的射影互相垂直，而a，b不垂直．
故答案我③．
下列命题中，真命题是______（将真命题前面的编号填写在横线上）．
①已知平面α、β和直线a、b，若α∩β=a，b⊂α且a⊥b，则α⊥β．
②已知平面α、β和两异面直线a、b，若a⊂α，b⊂β且a∥β，b∥α，则α∥β．
③已知平面α、β、γ和直线l，若α⊥γ，β⊥γ且α∩β=l，则l⊥γ．
④已知平面α、β和直线a，若α⊥β且a⊥β，则a⊂α或a∥α．
正确答案
②③④
解析
解：对于①，当两个平面是斜交时，在其中一个平面内也可以找到垂直与交线的直线，故①为假命题．
对于②，我们可以过空间内任意一点作两异面直线a、b的平行线．确定一个平面γ，由条件得α∥γ，γ∥β⇒α∥β，故②为真命题；
对于③，在空间中看我们所在长方体房子的任意一个墙角即可（本题是课后习题原题）知③为真命题．
对于④，由线面平行与面面平行的性质易得④为真命题．
故答案为：②③④．
平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
正确答案
解析
解：平面与平面平行的判定定理是：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面就平行．
由该判定定理，可得：当α内的两条相交直线分别与β平行时，平面α与平面β平行，由此可得D项是正确的．
若两个平面α、β相交，设交线是l，则有α内的直线m与l平行，得到m与平面β平行，
从而可得A是不正确的，而B中两条直线可能是平行于交线l的直线，也不能判定α与β平行，
C中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线，因此也不能判定α与β平行．
故选D
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