平面与平面之间的位置关系_章节学习

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题型：单选题

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单选题

给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．

其中真命题的个数为（　　）

A3

B2

C1

D0

正确答案

C

解析

解：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m，故①错误；

②中l与m也可能异面，故②错误；

③中⇒l∥m，

同理l∥n，则m∥n，故③正确．

故选C

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题型：单选题

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单选题

已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为（　　）

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β

③若l⊥n，m⊥n，则l∥m④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

解：①若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，因此不正确；

②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，利用面面垂直的判定定理可得：α⊥β，正确；

③若l⊥n，m⊥n，则l∥m、相交或为异面直线，因此不正确；

④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此正确．

综上可知：只有②④正确．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

设m、n表示直线，α、β表示平面，则下列命题中不正确的是（　　）

Am⊥α，m⊥β，则α∥β

Bm∥α，α∩β=n，则m∥n

Cm⊥α，m∥β，则α⊥β

Dm∥n，m⊥α，则n⊥α

正确答案

B

解析

解：A、根据垂直于同一条直线的两个平面平行，故A正确；

B、在长方体ABCD-A1B1C1D1中

平面AC为平面α，平面AD1为平面β，直线AD，和直线A1B1分别是直线m，n，

C、∵m∥β，∴过直线m的一个平面γ∩β=m′，

则m∥m′

∵m⊥α，∴m′⊥α

∴α⊥β，故C正确．

D、根据线面垂直的性质定理可知选项D正确；

故选B．

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题型：简答题

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简答题

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1-AC1-B1的大小．

正确答案

解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．

因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，

又AE=3EB1，所以FE=EB1，

又D为BB1的中点，

故DE∥BF，DE⊥AB1．

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．

又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，

故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．

所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．

（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°

设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=．

作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角．

B1H=，C1H=，AC1=，HK=

tan∠B1KH=，

∴二面角A1-AC1-B1的大小为arctan．

解析

解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．

因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，

又AE=3EB1，所以FE=EB1，

又D为BB1的中点，

故DE∥BF，DE⊥AB1．

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．

又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，

故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．

所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．

（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°

设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=．

作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角．

B1H=，C1H=，AC1=，HK=

tan∠B1KH=，

∴二面角A1-AC1-B1的大小为arctan．

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题型：简答题

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简答题

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，点E是SC上任意一点．

（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面SAC；

（Ⅱ）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；

（Ⅲ）当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°．

正确答案

解：证明（Ⅰ）∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，

∵SA⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴SA⊥BD，

∵SA∩AC=A，∴BD⊥面SAC，

又∵BDÌ面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC；（4分）

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD⊥面SAC，又∵BD⊂面SBD，

∴平面SBD⊥平面SAC，设AC∩BD=O，

则平面SBD∩平面SAC=SO，过A作AF⊥SO交SO于点F，

则AF⊥面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离．

∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=，

又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=，

∵SO×AF=SA×AO，∴AF=，∴点A到平面SBD的距离为；（9分）

解：（Ⅲ）作BM⊥SC于M，连接DM，

∵SA⊥底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，

又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，

∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，

∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM．（11分）

要使∠BMD=120°，只须，

即BM2=，而BD2=2AB2，∴BM2=AB2，

∵BM×SC=SB×BC，SC2=SB2+BC2，∴BM2×SC2=SB2×BC2，

∴AB2（SB2+BC2）=SB2×BC2，

∵AB=BC，∴2SB2+2AB2=3SB2，∴SB2=2AB2，

又∵AB2=SB2-SA2，∴AB2=SA2，∴，

故当时，二面角B-SC-D的大小为120°．（14分）

解析

解：证明（Ⅰ）∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，

∵SA⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴SA⊥BD，

∵SA∩AC=A，∴BD⊥面SAC，

又∵BDÌ面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC；（4分）

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD⊥面SAC，又∵BD⊂面SBD，

∴平面SBD⊥平面SAC，设AC∩BD=O，

则平面SBD∩平面SAC=SO，过A作AF⊥SO交SO于点F，

则AF⊥面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离．

∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=，

又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=，

∵SO×AF=SA×AO，∴AF=，∴点A到平面SBD的距离为；（9分）

解：（Ⅲ）作BM⊥SC于M，连接DM，

∵SA⊥底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，

又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，

∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，

∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM．（11分）

要使∠BMD=120°，只须，

即BM2=，而BD2=2AB2，∴BM2=AB2，

∵BM×SC=SB×BC，SC2=SB2+BC2，∴BM2×SC2=SB2×BC2，

∴AB2（SB2+BC2）=SB2×BC2，

∵AB=BC，∴2SB2+2AB2=3SB2，∴SB2=2AB2，

又∵AB2=SB2-SA2，∴AB2=SA2，∴，

故当时，二面角B-SC-D的大小为120°．（14分）

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