- 空间向量及其运算
- 共1844题
如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,BD是对角线,过点A作AE⊥BD,垂足为O,交CD于E,以AE为折痕将△ADE向上折起,使点D到点P的位置,且PB=
.
(1)求证:PO⊥平面ABCE;
(2)求二面角EAPB的余弦值.
正确答案
(1)见解析 (2)
解:(1)证明:由已知得AB=3,AD=6,
∴BD=9.
在矩形ABCD中,∵AE⊥BD,
∴Rt△AOD∽Rt△BAD,
∴=
,∴DO=4,∴BO=5.
在△POB中,PB=,PO=4,BO=5,
∴PO2+BO2=PB2,
∴PO⊥OB.又PO⊥AE,AE∩OB=O,
∴PO⊥平面ABCE.
(2)∵BO=5,
∴AO==2
.
以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,4),
A(2,0,0),B(0,5,0),
=(2
,0,-4),
=(0,5,-4).
设n1=(x,y,z)为平面APB的法向量.
则即
取x=2得n1=(2
,4,5).
又n2=(0,1,0)为平面AEP的一个法向量,
∴cos〈n1,n2〉==
=
,
故二面角EAPB的余弦值为.
如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=,点M,N分别在线段PA和BD上,BN=
BD.
(1)若PM=PA,求证:MN⊥AD;
(2)若二面角M-BD-A的大小为,求线段MN的长度.
正确答案
(1)详见解析;(2).
试题分析:(1)由于这是一个正四棱锥,故易建立空间坐标系,易得各点的坐标,由,得
,由
,得
,即可求得向量的坐标:
.不难计算出它们的数量积
,问题得证;(2)利用
在
上,可设
,得出点的坐标
,表示出
,进而求出平面
的法向量n=(λ-1,0,λ),由向量的夹角公式可得
,解得
,从而确定出
,由两点间距离公式得
.
试题解析:证明:连接交于点
,以
为
轴正方向,以
为
轴正方向,
为
轴建立空间直角坐标系.
因为,则
.
(1)由,得
,由
,得
,
所以.
因为.所以. 4分
(2)因为在
上,可设
,得
.
所以.
设平面的法向量
,
由得
其中一组解为,所以可取n=(λ-1,0,λ). 8分
因为平面的法向量为
,
所以,解得
,
从而,
所以. 10分
如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.
(1)求证:DC⊥平面ABC;
(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值;
(3)求二面角B-EF-A的余弦值.
正确答案
(1)见解析(2)(3)-
(1)∵平面ABD⊥平面BDC,又∵AB⊥BD,∴AB⊥平面BDC,故AB⊥DC,又∵∠C=90°,∴DC⊥BC,BCABC平面ABC,DC
平面ABC,故DC⊥平面ABC.
(2)如图,以B为坐标原点,BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示,设CD=a,则BD=AB=2a,BC=a,AD=2
a,可得B(0,0,0),D(2a,0,0),A(0,0,2a),C
,F(a,0,a),
∴=
,
=(a,0,a).
设BF与平面ABC所成的角为θ,由(1)知DC⊥平面ABC,
∴cos=
=
=
,∴sinθ=
.
(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC,AE
平面ABC,∴FE⊥BE,FE⊥AE,
∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角.
在△AEB中,AE=BE=AC=
a,
∴cos∠AEB==-
,即所求二面角B-EF-A的余弦为-
.
三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,A1A=3.D是BC的中点.
(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值.
正确答案
(1)(2)
(1)由题意,A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),A1(0,0,3),B1(2,0,3),C1(0,4,3).=(1,2,-3),
=(0,4,0).
设平面A1C1D的一个法向量为n=(x,y,z).
∵n·=x+2y-3z=0,n·
=4y=0.
∴x=3z,y=0.令z=1,得x=3.n=(3,0,1).
设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ,
∵=(1,-2,3),
∴sinθ=|cos〈·n〉|=
=
.
(2)设平面A1B1D的一个法向量为m=(a,b,c).
=(2,0,0),∵m·
=a+2b-3c=0,m·
=2a=0,
∴a=0,2b=3c.令c=2,得b=3.m=(0,3,2).
设二面角B1A1DC1的大小为α,
∴|cosα|=cos|〈m,n〉|=,则sinα=
=
.
∴二面角B1A1DC1的正弦值为.
如图几何体中,四边形为矩形,
,
,
,
,
.
(1)若为
的中点,证明:
面
;
(2)求二面角的余弦值.
正确答案
(1)见解析;(2).
试题分析:(1)连接交
于
点,得知
为
的中点,连接
根据点为
中点,利用三角形中位线定理,得出
,进一步得到
面
.
(2)首先探究几何体中的线面、线线垂直关系,创造建立空间直角坐标系的条件,应用“向量法”,确定二面角的余弦值.
解答本题的关键是确定“垂直关系”,这也是难点所在,平时学习中,应特别注意转化意识的培养,能从“非规范几何体”,探索得到建立空间直角坐标系的条件.
试题解析:(1)连接交
于
点,则
为
的中点,连接
因为点为
中点,所以
为
的中位线,
所以 2分
面
,
面
,
所以面
4分
(2)取中点
,
的中点
,连接
,则
,
所以共面
作于
,
于
,则
且
,
和
全等,
和
全等,
,
为
中点,
又,
,
面
,
面
6分
以为原点,
为
轴建立空间直角坐标系如图所示,则
,
,
,设
,则
,
,
设面的法向量
,
由,令
8分
设面的法向量
,
由,令
10分
设二面角的平面角为
,
则 12分
如图,是正方形
所在平面外一点,且
,
,若
、
分别是
、
的中点.
(1)求证:;
(2)求点到平面
的距离.
正确答案
(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)根据条件,
,
为坐标轴建立空间直角坐标系,然后得到相关点的坐标,通过计算
,从而使问题得证;(2)设
为平面
的一个法向量,利用
与
求得法向量
,然后通过利用公式
可求得点
到平面
的距离.
试题解析:如图建系,
则,则
.
(1),
,
.
(2)设为平面
的一个法向量,
由,
取,则
,
,
,
,
点
到平面
的距离为
.
如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.
(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;
(2)求B点到平面PCD的距离;
(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角QACD的余弦值为?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
正确答案
(1) (2)
(3)存在,
解:(1)在△PAD中,PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.
又在直角梯形ABCD中,连接OC,易得OC⊥AD,所以以O为坐标原点,OC,OD,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),
∴=(1,-1,-1),易证OA⊥平面POC,
∴=(0,-1,0)是平面POC的法向量,
cos〈,
〉=
=
.
∴直线PB与平面POC所成角的余弦值为.
(2)=(0,1,-1),
=(-1,0,1).
设平面PDC的一个法向量为u=(x,y,z),
则取z=1,得u=(1,1,1).
∴B点到平面PCD的距离为
d==
.
(3)假设存在一点Q,则设=λ
(0<λ<1).
∵..=(0,1,-1),
∴=(0,λ,-λ)=
-
,
∴=(0,λ,1-λ),∴Q(0,λ,1-λ).
设平面CAQ的一个法向量为m=(x,y,z),
又=(1,1,0),AQ=(0,λ+1,1-λ),
则
取z=λ+1,得m=(1-λ,λ-1,λ+1),
又平面CAD的一个法向量为n=(0,0,1),
二面角QACD的余弦值为,
所以|cos〈m,n〉|==
,
得3λ2-10λ+3=0,解得λ=或λ=3(舍),
所以存在点Q,且=
.
如图,在直三棱柱中,已知
,
,
.
(1)求异面直线与
夹角的余弦值;
(2)求二面角平面角的余弦值.
正确答案
(1),(2)
.
试题分析:(1)利用空间向量求线线角,关键在于正确表示各点的坐标. 以为正交基底,建立空间直角坐标系
.则
,
,
,
,所以
,
,因此
,所以异面直线
与
夹角的余弦值为
.(2)利用空间向量求二面角,关键在于求出一个法向量. 设平面
的法向量为
,则
即
取平面
的一个法向量为
;同理可得平面
的一个法向量为
;由两向量数量积可得二面角
平面角的余弦值为
.
试题解析:
如图,以为正交基底,建立空间直角坐标系
.
则,
,
,
,所以
,
,
,
.
(1)因为,
所以异面直线与
夹角的余弦值为
. 4分
(2)设平面的法向量为
,
则 即
取平面的一个法向量为
;
所以二面角平面角的余弦值为
. 10分
已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分别是线段AB、BC的中点.
(1)证明:PF⊥FD;
(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD;
(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角A-PD-F的余弦值.
正确答案
(1)详见解析;(2)详见解析;(3).
试题分析:解法一(向量法)
(I)建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,分别求出直线PF与FD的平行向量,然后根据两个向量的数量积为0,得到PF⊥FD;
(2)求出平面PFD的法向量(含参数t),及EG的方向向量,进而根据线面平行,则两个垂直数量积为0,构造方程求出t值,得到G点位置;
(3)由是平面PAD的法向量,根据PB与平面ABCD所成的角为45°,求出平面PFD的法向量,代入向量夹角公式,可得答案.
解法二(几何法)
(I)连接AF,由勾股定理可得DF⊥AF,由PA⊥平面ABCD,由线面垂直性质定理可得DF⊥PA,再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF,再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD;
(2)过点E作EH∥FD交AD于点H,则EH∥平面PFD,且有AH=AD,再过点H作HG∥DP交PA于点G,则HG∥平面PFD且AG=
AP,由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD,进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD.从而确定G点位置;
(Ⅲ)由PA⊥平面ABCD,可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,即∠PBA=45°,取AD的中点M,则FM⊥AD,FM⊥平面PAD,在平面PAD中,过M作MN⊥PD于N,连接FN,则PD⊥平面FMN,则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角,解三角形MNF可得答案..
试题解析:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).
不妨令P(0,0,t),∵=(1,1,-t),
=(1,-1,0),
∴=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,
即PF⊥FD.
(2)解:设平面PFD的法向量为n=(x,y,z),
由得
令z=1,解得:x=y=.
∴n=.
设G点坐标为(0,0,m),E,则
,
要使EG∥平面PFD,只需·n=0,即
,得m=
,从而满足AG=
AP的点G即为所求.
(3)解:∵AB⊥平面PAD,∴是平面PAD的法向量,易得
=(1,0,0),又∵PA⊥平面ABCD,∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,得∠PBA=45°,PA=1,平面PFD的法向量为n=
.
∴.
故所求二面角A-PD-F的余弦值为.
如图所示,在多面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,AD⊥平面DEFG,BA⊥AC,ED⊥DG,EF∥DG,且AC=1,AB=ED=EF=2,AD=DG=4.
(1)求证:BE⊥平面DEFG;
(2)求证:BF∥平面ACGD;
(3)求二面角F-BC-A的余弦值.
正确答案
(1)见解析(2)见解析(3)
(1)证明:∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE.
又∵AB=DE,∴四边形ADEB为平行四边形,∴BE∥AD.
∵AD⊥平面DEFG,∴BE⊥平面DEFG.
(2)证明:设DG的中点为M,联结AM,MF,则DM=DG=2,
∵EF=2,EF∥DG,∴四边形DEFM是平行四边形,
∴MF=DE且MF∥DE,由(1)知,四边形ADEB为平行四边形,∴AB=DE且AB∥DE,∴AB=MF且AB∥MF,
∴四边形ABFM是平行四边形,
即BF∥AM,又BF⊄平面ACGD,AM⊂平面ACGD,故BF∥平面ACGD.
(3)由已知,AD,DE,DG两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,4),B(2,0,4),C(0,1,4),F(2,2,0),
故=(0,2,-4),
=(-2,1,0).
设平面FBC的法向量为n1=(x,y,z),则
令z=1,则n1=(1,2,1),
而平面ABC的法向量可为n2==(0,0,4),
则cos〈n1,n2〉=,
由图形可知,二面角F-BC-A的余弦值为-
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