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题型:简答题
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简答题

如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,BD是对角线,过点A作AE⊥BD,垂足为O,交CD于E,以AE为折痕将△ADE向上折起,使点D到点P的位置,且PB=.

(1)求证:PO⊥平面ABCE;

(2)求二面角E­AP­B的余弦值.

正确答案

(1)见解析   (2)

解:(1)证明:由已知得AB=3,AD=6,

∴BD=9.

在矩形ABCD中,∵AE⊥BD,

∴Rt△AOD∽Rt△BAD,

,∴DO=4,∴BO=5.

在△POB中,PB=,PO=4,BO=5,

∴PO2+BO2=PB2

∴PO⊥OB.又PO⊥AE,AE∩OB=O,

∴PO⊥平面ABCE.

(2)∵BO=5,

∴AO==2.

以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,4),

A(2,0,0),B(0,5,0),

=(2,0,-4),=(0,5,-4).

设n1=(x,y,z)为平面APB的法向量.

取x=2得n1=(2,4,5).

又n2=(0,1,0)为平面AEP的一个法向量,

∴cos〈n1,n2〉=

故二面角E­AP­B的余弦值为.

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简答题

如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=,点M,N分别在线段PA和BD上,BN=BD.

(1)若PM=PA,求证:MN⊥AD;

(2)若二面角M-BD-A的大小为,求线段MN的长度.

正确答案

(1)详见解析;(2)

试题分析:(1)由于这是一个正四棱锥,故易建立空间坐标系,易得各点的坐标,由,得,由,得,即可求得向量的坐标:.不难计算出它们的数量积,问题得证;(2)利用上,可设,得出点的坐标,表示出,进而求出平面的法向量n=(λ-1,0,λ),由向量的夹角公式可得,解得,从而确定出,由两点间距离公式得.

试题解析:证明:连接交于点,以轴正方向,以轴正方向,轴建立空间直角坐标系.

因为,则

(1)由,得,由,得

所以

因为.所以.                   4分

(2)因为上,可设,得

所以

设平面的法向量

其中一组解为,所以可取n=(λ-1,0,λ).        8分

因为平面的法向量为

所以,解得, 

从而

所以.                      10分

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简答题

如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.

(1)求证:DC⊥平面ABC;

(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值;

(3)求二面角B-EF-A的余弦值.

正确答案

(1)见解析(2)(3)-

(1)∵平面ABD⊥平面BDC,又∵AB⊥BD,∴AB⊥平面BDC,故AB⊥DC,又∵∠C=90°,∴DC⊥BC,BCABC平面ABC,DC平面ABC,故DC⊥平面ABC.

(2)如图,以B为坐标原点,BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示,设CD=a,则BD=AB=2a,BC=a,AD=2a,可得B(0,0,0),D(2a,0,0),A(0,0,2a),C,F(a,0,a),

=(a,0,a).

设BF与平面ABC所成的角为θ,由(1)知DC⊥平面ABC,

∴cos,∴sinθ=.

(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC,AE平面ABC,∴FE⊥BE,FE⊥AE,

∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角.

在△AEB中,AE=BE=AC=a,

∴cos∠AEB==-,即所求二面角B-EF-A的余弦为-.

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简答题

三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,A1A=3.D是BC的中点.

(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;

(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值.

正确答案

(1)(2)

(1)由题意,A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),A1(0,0,3),B1(2,0,3),C1(0,4,3).=(1,2,-3),=(0,4,0).

设平面A1C1D的一个法向量为n=(x,y,z).

n·=x+2y-3z=0,n·=4y=0.

∴x=3z,y=0.令z=1,得x=3.n=(3,0,1).

设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ,

=(1,-2,3),

∴sinθ=|cos〈·n〉|=.

(2)设平面A1B1D的一个法向量为m=(a,b,c).

=(2,0,0),∵m·=a+2b-3c=0,m·=2a=0,

∴a=0,2b=3c.令c=2,得b=3.m=(0,3,2).

设二面角B1A1DC1的大小为α,

∴|cosα|=cos|〈mn|,则sinα=.

∴二面角B1A1DC1的正弦值为.

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简答题

如图几何体中,四边形为矩形,.

(1)若的中点,证明:

(2)求二面角的余弦值.

正确答案

(1)见解析;(2).

试题分析:(1)连接点,得知的中点,连接

根据点中点,利用三角形中位线定理,得出,进一步得到

.

(2)首先探究几何体中的线面、线线垂直关系,创造建立空间直角坐标系的条件,应用“向量法”,确定二面角的余弦值.

解答本题的关键是确定“垂直关系”,这也是难点所在,平时学习中,应特别注意转化意识的培养,能从“非规范几何体”,探索得到建立空间直角坐标系的条件.

试题解析:(1)连接点,则的中点,连接

因为点中点,所以的中位线,

所以                       2分

所以       4分

(2)取中点的中点,连接,则

所以共面

,则

全等,

全等,

中点,

                      6分

为原点,轴建立空间直角坐标系如图所示,则,设,则

设面的法向量

,令

                               8分

设面的法向量

,令

                             10分

设二面角的平面角为

              12分

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简答题

如图,是正方形所在平面外一点,且,若分别是的中点.

(1)求证:

(2)求点到平面的距离.

正确答案

(1)证明见解析;(2)

试题分析:(1)根据条件为坐标轴建立空间直角坐标系,然后得到相关点的坐标,通过计算,从而使问题得证;(2)设为平面的一个法向量,利用求得法向量,然后通过利用公式可求得点到平面的距离.

试题解析:如图建系,

,则

(1)

(2)设为平面的一个法向量,

,则

到平面的距离为

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简答题

如图,在四棱锥P­ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.

(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;

(2)求B点到平面PCD的距离;

(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q­AC­D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)    (2)    (3)存在,

解:(1)在△PAD中,PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.

又在直角梯形ABCD中,连接OC,易得OC⊥AD,所以以O为坐标原点,OC,OD,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),

=(1,-1,-1),易证OA⊥平面POC,

=(0,-1,0)是平面POC的法向量,

cos〈〉=.

∴直线PB与平面POC所成角的余弦值为.

(2)=(0,1,-1),=(-1,0,1).

设平面PDC的一个法向量为u=(x,y,z),

取z=1,得u=(1,1,1).

∴B点到平面PCD的距离为

d=.

(3)假设存在一点Q,则设=λ (0<λ<1).

∵..=(0,1,-1),

=(0,λ,-λ)=

=(0,λ,1-λ),∴Q(0,λ,1-λ).

设平面CAQ的一个法向量为m=(x,y,z),

=(1,1,0),AQ=(0,λ+1,1-λ),

取z=λ+1,得m=(1-λ,λ-1,λ+1),

又平面CAD的一个法向量为n=(0,0,1),

二面角Q­AC­D的余弦值为

所以|cos〈m,n〉|=

得3λ2-10λ+3=0,解得λ=或λ=3(舍),

所以存在点Q,且.

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简答题

如图,在直三棱柱中,已知

(1)求异面直线夹角的余弦值;

(2)求二面角平面角的余弦值.

正确答案

(1),(2)

试题分析:(1)利用空间向量求线线角,关键在于正确表示各点的坐标. 以为正交基底,建立空间直角坐标系.则,所以,因此,所以异面直线夹角的余弦值为.(2)利用空间向量求二面角,关键在于求出一个法向量. 设平面的法向量为,则 即取平面的一个法向量为;同理可得平面的一个法向量为;由两向量数量积可得二面角平面角的余弦值为

试题解析:

如图,以为正交基底,建立空间直角坐标系

,所以

(1)因为

所以异面直线夹角的余弦值为.                    4分

(2)设平面的法向量为

 即

取平面的一个法向量为

 

所以二面角平面角的余弦值为.                       10分

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简答题

已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分别是线段AB、BC的中点.

(1)证明:PF⊥FD;

(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD;

(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角A-PD-F的余弦值.

正确答案

(1)详见解析;(2)详见解析;(3).

试题分析:解法一(向量法)

(I)建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,分别求出直线PF与FD的平行向量,然后根据两个向量的数量积为0,得到PF⊥FD;

(2)求出平面PFD的法向量(含参数t),及EG的方向向量,进而根据线面平行,则两个垂直数量积为0,构造方程求出t值,得到G点位置;

(3)由是平面PAD的法向量,根据PB与平面ABCD所成的角为45°,求出平面PFD的法向量,代入向量夹角公式,可得答案.

解法二(几何法)

(I)连接AF,由勾股定理可得DF⊥AF,由PA⊥平面ABCD,由线面垂直性质定理可得DF⊥PA,再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF,再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD;

(2)过点E作EH∥FD交AD于点H,则EH∥平面PFD,且有AH=AD,再过点H作HG∥DP交PA于点G,则HG∥平面PFD且AG=AP,由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD,进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD.从而确定G点位置;

(Ⅲ)由PA⊥平面ABCD,可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,即∠PBA=45°,取AD的中点M,则FM⊥AD,FM⊥平面PAD,在平面PAD中,过M作MN⊥PD于N,连接FN,则PD⊥平面FMN,则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角,解三角形MNF可得答案..

试题解析:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).

不妨令P(0,0,t),∵=(1,1,-t),=(1,-1,0),

=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,

即PF⊥FD.

(2)解:设平面PFD的法向量为n=(x,y,z),

令z=1,解得:x=y=.

∴n=.

设G点坐标为(0,0,m),E,则

要使EG∥平面PFD,只需·n=0,即,得m=,从而满足AG=AP的点G即为所求.

(3)解:∵AB⊥平面PAD,∴是平面PAD的法向量,易得=(1,0,0),又∵PA⊥平面ABCD,∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,得∠PBA=45°,PA=1,平面PFD的法向量为n=.

.

故所求二面角A-PD-F的余弦值为.

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简答题

如图所示,在多面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFGAD⊥平面DEFGBAACEDDGEFDG,且AC=1,ABEDEF=2,ADDG=4.

 

(1)求证:BE⊥平面DEFG

(2)求证:BF∥平面ACGD

(3)求二面角FBCA的余弦值.

正确答案

(1)见解析(2)见解析(3)

(1)证明:∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEBAB,平面DEFG∩平面ADEBDE,∴ABDE.

又∵ABDE,∴四边形ADEB为平行四边形,∴BEAD.

AD⊥平面DEFG,∴BE⊥平面DEFG.

(2)证明:设DG的中点为M,联结AMMF,则DMDG=2,

EF=2,EFDG,∴四边形DEFM是平行四边形,

MFDEMFDE,由(1)知,四边形ADEB为平行四边形,∴ABDEABDE,∴ABMFABMF

∴四边形ABFM是平行四边形,

BFAM,又BF⊄平面ACGDAM⊂平面ACGD,故BF∥平面ACGD.

(3)由已知,ADDEDG两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,4),B(2,0,4),C(0,1,4),F(2,2,0),

=(0,2,-4),=(-2,1,0).

设平面FBC的法向量为n1=(xyz),则

z=1,则n1=(1,2,1),

而平面ABC的法向量可为n2=(0,0,4),

则cos〈n1n2〉=

由图形可知,二面角FBCA的余弦值为-

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