空间向量及其运算_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2）．

（Ⅰ）若向量k+与向量2-互相平行，求实数k的值；

（Ⅱ）求由向量和向量所确定的平面的单位法向量．

正确答案

解：（1）向量k+=k（1，1，0）+（-1，0，2）=（k-1，k，2）．

向量2-=2（1，1，0）-（-1，0，2）=（3，2，-2）．

∵（k+）∥（2-），

∴，

解得k=-2．

（2）设平面的法向量=（x，y，z），则==0，

∴，令z=1，解得x=2，y=-2，

即所求平面的一个法向量为（2，-2，1），

故单位法向量为或．

解析

解：（1）向量k+=k（1，1，0）+（-1，0，2）=（k-1，k，2）．

向量2-=2（1，1，0）-（-1，0，2）=（3，2，-2）．

∵（k+）∥（2-），

∴，

解得k=-2．

（2）设平面的法向量=（x，y，z），则==0，

∴，令z=1，解得x=2，y=-2，

即所求平面的一个法向量为（2，-2，1），

故单位法向量为或．

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题型：简答题

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简答题

已知四点A（2，3，1），B（-5，4，1），C（6，2，-3），D（5，-2，1），求通过点A且垂直于B，C，D所确定的平面的直线方程．

正确答案

解：=（6+5，2-4，-3-1）=（11，-2，-4），

=（5+5，-2-4，1-1）=（10，-6，0），

取直线L的方向向量为=（x，y，z），

则•=0①，•=0②；

即，

解得直线L的方向向量为=（12，20，23）；

所以过点A且垂直于B，C，D所确定的平面的直线方程是：

==．

解析

解：=（6+5，2-4，-3-1）=（11，-2，-4），

=（5+5，-2-4，1-1）=（10，-6，0），

取直线L的方向向量为=（x，y，z），

则•=0①，•=0②；

即，

解得直线L的方向向量为=（12，20，23）；

所以过点A且垂直于B，C，D所确定的平面的直线方程是：

==．

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题型：填空题

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填空题

①所谓直线的方向向量，就是指______的向量，一条直线的方向向量有______个；

②所谓平面的法向量，就是______一个平面的法向量有______个．

正确答案

和这条直线所对应的向量平行

无数

与平面垂直的向量

无数

解析

解：①直线的方向向量是指和这条直线所对应的向量平行的向量，一条直线的方向向量有无数个；

②所谓平面的法向量，就是与平面垂直的向量，一个平面的法向量有无数个．

故答案为：和这条直线所对应的向量平行；无数；与平面垂直的向量；无数．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•九江校级期末）已知平面α的一个法向量，A∈α，P∉α，且，则直线PA与平面α所成的角为______．

正确答案

解析

解：设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ=|cosα|===，

∴直线PA与平面α所成的角为．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

若直线l的方向向量为，平面α的法向量，则能使l∥α的是（　　）

A=（1，0，0），=（-2，0，0）

B=（1，3，5），=（1，0，1）

C=（3，-1，3），=（0，3，1）

D=（0，2，-1），=（-2，-1，2）

正确答案

C

解析

解：若l∥α，则=0，

而A中=-2，

B中=1+5=6，

C中=0，D选项中=-2-2=-4．

故选C．

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题型：单选题

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单选题

已知=（1，2，2，），=（2，-2，1），则平面ABC的一个单位法向量可表示为（　　）

A（2，1，-2）

B（，，）

C（，-，）

D（，，-）

正确答案

D

解析

解：设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），

则，令x=1，则y=，z=-1．

∴．

∴平面ABC的一个单位法向量可表示===．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

已知=（1，0，2），=（2，1，1），则平面ABC的一个法向量为______．

正确答案

（-2，3，1）

解析

解：=（1，0，2），=（2，1，1），

设平面ABC的法向量为=（x，y，z），

则，即，取x=-2，则z=1，y=3．

∴=（-2，3，1）．

故答案为：（-2，3，1）．

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题型：填空题

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填空题

若，，是平面α内的三点，设平面α的法向量，则x：y：z=______．

正确答案

2：3：（-4）

解析

解：，

∴．

故答案为 2：3：-4．

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题型：简答题

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简答题

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（　　）

①f（）=1；②f（x）为奇函数；③f（x）在其定义域内单调递增；④f（x）的图象关于点（，0）对称．

正确答案

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中，，，．

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的大小．

正确答案

（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．）

方法1：（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，所以．………………………………………………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．………………………………………………………………………7分

过点作于点，连接，

由（1）知，，，所以平面．

因为平面，所以．

所以为二面角的平面角．…………………………………………………………9分

由（1）知，平面，平面，

所以，即△为直角三角形．

在△中，，，则．

由，解得．

因为．…………………………………………………………………………13分

所以．

所以二面角的平面角大小为．………………………………………………………14分

方法2：（1）证明：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………2分

解得

所以，．………………………………………………………………………3分

以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．

………………………5分

因为，

所以．

所以．…………………………………………………9分

（2）解：设是平面的法向量，因为，

所以即

取，则是平面的一个法向量．……………………………………………11分

由（1）知，，又，，所以平面．

所以是平面的一个法向量．……………………………………………………12分

因为，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小为．………………………………………………………14分

方法3：（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，

所以．…………………………………………………………………………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．………………………………………………………………………7分

以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．

…………………………9分

设是平面的法向量，

则即

取，则是平面的一个法向量．………11分

由（1）知，，又，，

所以平面．

所以是平面的一个法向量．……………………………………………………12分

因为，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小为．………………………………………………………14分

略

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