热门试卷

(1)见解析(2)见解析（3）-

(1)证明　∵AD＝BC，N是BC的中点，∴AD＝NC，又AD∥BC，∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，∴AB＝BN＝AD，

∴四边形ANCD是菱形，∴∠ACB＝∠DCB＝30°，

∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，平面C′BA∩平面ABC＝AB，∴AC⊥平面ABC′.

(2)证明:∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N⊂平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′.

(3)解:∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC.

如图建立空间直角坐标系，

设AB＝1，则B(1,0,0)，C(0，，0)，C′(0,0，)，

N，∴′＝(－1,0，)，′＝(0，－，)，设平面C′NC的法向量为n＝(x，y，z)，则即

取z＝1，则x＝，y＝1，∴n＝(，1,1)．

∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD与AN交于点O，O则为AN的中点，O，∴平面C′AN的法向量＝.

∴cos〈n，〉＝＝，

由图形可知二面角A­C′N­C为钝角，

所以二面角A­C′N­C的余弦值为－

解：以CD为x轴,CA为y轴,以CE为z轴建立空间坐标系，                              

（1）          

（2）平面ABD的法向量              

略

（1）见解析（2）

本题考查异面直线垂直的证明、点到平面的距离．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．

（1）在△ACD中，由题设条件推导出CD⊥CA，由ABCD是平行四边形，知CA⊥AB，由直线垂直于平面的性质得到AC⊥BF．

（2）求出向量AD和平面FBD的法向量，用向量法能够求出点A到平面FBD的距离．

解法1：由得,故AD2=AC2+CD2，,,所以CD⊥CA

以CD为x轴,CA为y轴,以CE为z轴建立空间坐标系，  

（1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,,0),F(0, ,),B(-1,,0),

,, ,

（2）,

由,可得,

点A到平面FBD的距离为d,

解法2 ：（1）由得,故BC2=AC2+AB2，,,所以AC⊥AB 

因为ACEF是矩形，AC⊥AF，所以AC⊥平面ABF,故AC⊥BF

（2）由，得

（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．

设，

则，，

于是，，，

则，

所以．………………6分

（Ⅱ）若，则，，

设平面的法向量为，

由，得：，令，则，

于是，而

设与平面所成角为，所以，

所以与平面所成角为．

略

Ⅰ）平面、平面、平面.        ……3分（每对1个给1分）（Ⅱ）依题意，在正三棱柱中，，，从而.   …5分，

所以正三棱柱的体积.  ……7分．

（Ⅲ）连接，设，连接，

因为是正三棱柱的侧面，所以是矩形，是的中点，

所以是的中位线，.          ……………10分

因为，，所以.  

略

（1） ； （2）见解析；（3）见解析。

试题分析：(1)因为平面ABCD,所以为与平面ABCD所成角,

然后解三角形求出此角即可.

（2）证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面A B1D1内两条相交直线和分别平行于平面EFG即可.在证明线面平行时又转化为证明线线平行.

(3)易证：BD平面AA1C，再证明EF//BD，因而可证出平面AA1C⊥面EFG.

（1）∵平面ABCD=C，在正方体ABCD-A1B1C1D1

平面ABCD

∴AC为在平面ABCD的射影

∴为与平面ABCD所成角……….2分

正方体的棱长为

∴AC=，=

                  ………..4分

（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1

连接BD，∥，=

 为平行四边形

∴∥∵E，F分别为BC，CD的中点

∴EF∥BD∴EF∥…………3分

∵EF平面GEF，平面GEF

∴∥平面GEF              …………7分

同理∥平面GEF∵=

∴平面A B1D1∥平面EFG        ……………9分

（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1∴  平面ABCD

∵EF平面ABCD

∴ EF             …………10分

∵ABCD为正方形

∴ACBD

∵EF∥BD

∴AC EF             ………..11分

∴EF平面AA1C

∵EF平面EFG

∴平面AA1C⊥面EFG        …………….12分.

点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影.面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转化为线线垂直（平行）.

（1）证明：∵　菱形的对角线互相垂直，∴，∴，

∵ ，∴．

∵　平面⊥平面，平面平面，且平面，

∴　平面, ∵ 平面，∴　……………4分

（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系．

设 因为，所以为等边三角形，

故，．又设，则，．

所以，，，

故 ，

所以，

当时，．此时，………………………………6分

设点的坐标为，由（1）知，，则，，，．所以，，

∵，　∴          ．             

∴，∴．   10分

设平面的法向量为，则．

∵，，∴　

取，解得：， 所以．……………………………… 8分

设直线与平面所成的角，

∴

．……………………………………………… 10分

又∵∴． ∵，∴．

因此直线与平面所成的角大于，即结论成立

略