空间向量及其运算
共1844题

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题型：填空题

填空题

若A（0，2，），B（1，-1，），C（-2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）。

正确答案

2：3：（-4）

题型：填空题

填空题

若A(0，2，)，B(1，-1，)，C(-2，1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量=(x，y，z)，则x：y：z=______．

正确答案

=(1，-3，-)，=(-2，-1，-)，•=0，•=0，

∴，x：y：z=y：y：(-y)=2：3：(-4)．

故答案为 2：3：-4．

题型：简答题

简答题

在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，棱长为l，G 、E 、F 分别为AA1 、AB 、BC 的中点，求平面GEF 的一个法向量

正确答案

解：如图所示，以D 为原点建立空间直角坐标系，

由此得

设平面GEF的法向量为n=(x，y，z)．

由可得

令y=1，

∴平面CEF的一个法向量为n=(1，1，1）．

题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长。

正确答案

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD，

又因为PA⊥平面ABCD，

所以PA⊥BD，

所以BD⊥平面PAC。

（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，

因为∠BAD=60°，PA=PB=2，

所以BO=1，AO=CO=，

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，

则 P（0，，2），A（0，，0），B（1，0，0），

C（0，，0），

所以，

设PB与AC所成角为θ，

则；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，

设P（0，，t）（t＞0），

则，

设平面PBC的法向量m=（x，y，z），

则，

所以，

令，

则，

所以，

同理，平面PDC的法向量，

因为平面PCB⊥平面PDC，

所以=0，

即，

解得t=，

所以PA=。

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下一知识点 : 立体几何中的向量方法

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