热门试卷

（1）>的值为；（2）证明过程详见试题解析.

试题分析：（1）先以C为原点建立空间坐标系，由已知易求出，进而可求 >的值；

（2）由（1）所建立的空间坐标系可写出、、的坐标表示，即可知，从而得证.

试题解析：以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为轴、轴、轴，建立坐标系

（1）依题意得,∴

∴  ,

∴>=              6分

(2) 依题意得 ∴ ,

∴ ,,

∴  ,

∴ ,      ∴ 

∴                                12分

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的一条直线平行，取中点，连接，则，且，由已知得，且，故，则四边形是平行四边形，可证明，进而证明∥平面，或可通过建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标，证明直线的方向向量垂直于平面的法向量即可；（2）先求半平面和的法向量的夹角的余弦值，再观察二面角是锐二面角还是钝二面角，来决定二面角的大小的余弦值的正负，从而求解．

（1）因为，∥，所以平面．

故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则相关各点的坐标分别是，，，，

， ． 

所以，

因为平面的一个法向量为，

所以，

又因为平面，所以平面．   6分

（2）由（1）知，，，．

设是平面的一个法向量，由 得

，取，得，则

设是平面的一个法向量，由得

，取，则，则

设二面角的大小为，则，故二面角的大小的余弦值为．

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）用线面垂直证，用等腰三角形中线即为高线证即，根据线面垂直得判定定理即可得证。（2）由（1）知平面，则为与平面所成的角。因为为定值，所以最短即最短时角的正弦值最大。故此时。故此可推导出的值，过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角。也可采用空间向量法。

试题解析：解：方法一：（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形，因为为的中点，

所以                                1分

又，因此                       2分

因为平面，平面，

所以                         3分

而平面，平面，

所以平面  .              5分

（2）为上任意一点，连接由（1）知平面，则为与平面所成的角                    6分

在中，，

所以当最短时，即当时，最大 .              7分

此时，     因此

又，所以，

所以               8分

因为平面，平面，

所以平面平面

过作于，则平面，

过作于，连接，则为二面角的平面角，  10分

在中， 

又是的中点，在中，

又               11分

在中，

即所求二面角的余弦值为。                                  13分

第二问：方法二

（2）由（1）可知两两垂直，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。 

设,则

（其中）                                6分

面的法向量为

与平面所成最大角的正切值为               7分

的最大值为，

即在的最小值为，

函数对称轴，

所以，计算可得                  9分

所以

设平面的一个法向量为，则

因此，取，则             11分

为平面的一个法向量.                      12分

所以

所以，所求二面角的余弦值为                               13分

连接A­1D，∵A­1D∥B1C, 

∴∠BA1D是异面直线A1B与B1C所成的角                          ……2分

连接BD,在△A­1DB中,AB=A­1D=5,BD=4 ……4分

cos∠BA1D=

==   ……8分

∴异面直线A1B与B1C所成角的余弦值是

略

．，．

解：（1）∵，由条件可得

两边平方得

∴．                                                   ……（2分）

同理可得，．                              ……（6分）

（2）由可得，∴

由，得，∴，

∴，                             ……（8分）

由，得，∴，

∴ ，                              ……（10分）

（1）16   （2）

（1）∵ ，，

∴＝＝＝0

＝＝＝0

∴，，即，　　∵　∴

故，四边形ABCD分别是四棱锥的高和底面．

又∵ ，，

∴＝＝＝  …………………5分

＝＝　　＝＝

＝＝

∴＝＝

＝＝16．    …………………8分

（2）∵

∴＝

＝＝，即＝．   …………………12分

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）可证得面侧面（2）此问采用空间向量法较好。先建系，写出个点坐标，再给出各向量的坐标，分别求面和面的法向量。先求得两法向量所成角的余弦值，但两法向量所成的角和二面角相等或互补，观察可知此二面角为顿角，所以余弦值为负值。

试题解析：（1）证明： ，

又

          4分

（2）由（Ⅰ）知，以点为坐标原点，以所在的直线分

别为轴、轴、轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，

, , ,  

又由线段上分别有一点，

满足，

所以E(1，2，0), F(0，1，1)        6分

面的一个法向量       8分

此时面的一个法向量为,则。

设所求二面角平面角为，观察可知为钝角，

则 。               12分

（1）90°（2）见解析

(1)解：以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图．

则相应点的坐标分别为D1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)，

＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)，

＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．

设平面AED1、平面AEC的法向量分别为m＝(a，b，1)，n＝(c，d，1)．

由

由

∴m＝(2，－1，1)，n＝(－1，－1，1)，∴cosm，n=＝＝0，

∴二面角D1AEC的大小为90°.

(2)证明：取DD1的中点G，连结GB、GF.

∵E、F分别是棱BB1、AD的中点，

∴GF∥AD1，BE∥D1G且BE＝D1G，

∴四边形BED1G为平行四边形，∴D1E∥BG.

又D1E、D1A平面AD1E，BG、GF∥平面AD1E，

∴BG∥平面AD1E，GF∥平面AD1E.

∵GF、GB平面BGF，∴平面BGF∥平面AD1E.

∵BF平面AD1E，∴直线BF∥平面AD1E.

(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF∥平面AD1E，亦可)