热门试卷

(1)见解析；(2)直线E与平面BP所成角的大小为.

试题分析：(1)为计算上的便利，不妨设正三角形ABC的边长为3,

利用已知条件首先得到△ADF是正三角形.再推出EF⊥AD,∠EB为二面角EFB的平面角,根据二面角EFB为直二面角,得到E⊥BE.

又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.

(2)建立空间直角坐标系,利用“空间向量方法”求角.

试题解析： (1)不妨设正三角形ABC的边长为3,

则在图(1)中,取BE的中点D,连接DF,

∵===,∴FA=AD=2.又∠A=60°,

则△ADF是正三角形.又AE=ED=1,∴EF⊥AD,

∴在图(2)中有E⊥EF,BE⊥EF,∴∠EB为二面角EFB的平面角,

∵二面角EFB为直二面角,∴E⊥BE.

又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.

(2)由(1)可知E⊥平面BEP,BE⊥EF,建立如图所示的空间直角坐标系,

则E(0,0,0),  (0,0,1),B(2,0,0).连接DP,由(1)知EF

(1)见解析   (2)

(1)根据题意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO=,

所以AC2=AO2+CO2,所以AO⊥CO.

又AO⊥BD,BD∩CO=O,

所以AO⊥平面BCD.

(2)方法一:由(1)知,CO⊥OD,以O为原点,OC,OD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz,

则有O(0,0,0),D(0,,0),

C(,0,0),B(0,-,0).

设A(x0,0,z0)(x0<0),

则=(x0,0,z0),=(0,,0).

平面ABD的一个法向量为n=(z0,0,-x0).

平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小为120°,

所以|cos|=|cos120°|=,得=3.

因为OA=,所以=.解得x0=-,z0=.所以A(-,0,).

平面ABC的一个法向量为l=(1,-1,).

设二面角A-BC-D的平面角为θ,

所以cosθ=|cos|=||=.

所以tanθ=.

所以二面角A-BC-D的正切值为.

方法二:折叠后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO=,所以AC=.

如图,过点A作CO的垂线交CO延长线于点H,

因为BD⊥CO,BD⊥AO,且CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC.因为AH⊂平面AOC,所以BD⊥AH.

又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH⊥BC.过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK,因为BC⊥AH,AK∩AH=A,所以BC⊥平面AHK.因为HK⊂平面AHK,所以BC⊥HK.所以∠AKH为二面角A-BC-D的平面角.

在△AOH中,得AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=.

在Rt△CHK中,HK==,

在Rt△AHK中,tan∠AKH===.

所以二面角A-BC-D的正切值为.

略

解：作AP⊥CD于点P，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，，0)，D(－，，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)．

（1）＝(1，0，0)，＝(－，，－1)，则cos＜，＞＝－，故AB与MD所成角为．            …………………4分

（2）＝(0，，－2)，＝(－，，－2)，

设平面OCD法向量n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，

即，取z＝，则n＝(0，4，)． ……………………6分

易得平面OAB的一个法向量为m＝(0，1，0)，

cos＜n，m＞＝，                               ……………………9分

故平面OAB与平面OCD所成二面角的平面角余弦值为．………………10分

证明略

　(1）连结BG，则

由共面向量定理的推论知：　E、F、G、H四点共面，(其中=）

(2）因为.

所以EH∥BD，又EH面EFGH，BD面EFGH

所以BD∥平面EFGH.

(3）连OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG

由(2）知，同理，所以，EHFG,所以EG、FH交于一点M且被M平分，所以