空间向量及其运算
共1844题

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题型：填空题

填空题

已知向量，，其中，则的夹角能成为直角三角形内角的概率是

正确答案

此题考查向量垂直的知识

由题意知：一共有种可能，满足条件的种可能，

答案

题型：简答题

简答题

如图△ABC为正三角形，边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆．

（1）若，求；

（2）PQ为圆A的任意一条直径，求的最大值．

正确答案

（1）（2）3

（1）；

（2）

（其中为的夹角）

所以=0时，取最大值3．

题型：填空题

填空题

在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．

正确答案

以A为原点建立平面直角坐标系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，∴＝(0，1，－1)，＝，

设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，

则∴∴n1＝(1，2，2)．∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.

题型：简答题

简答题

如图6，在三棱柱中，△ABC为等边三角形，侧棱⊥平面，，D、E分别为、的中点．

（Ⅰ）求证：DE⊥平面；

（Ⅱ）求BC与平面所成角；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

正确答案

（Ⅰ）设中点为F，连结AF，EF，,

而，四边形为平行四边形,

················ 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得, ，过,

， 8分

（Ⅲ）

略

题型：填空题

填空题

过点且一个法向量为的直线的点法向式方程为___________

正确答案

略

题型：简答题

简答题

已知向量=（cosx + sinx，sinx），=（cosx - sinx，2cosx），设f（x）=•. ①求函数f(x)的最小正周期；

②当x∈[]时，求函数f（x）的最大值及最小值.

正确答案

(1) (2) f（x）有最大值；f（x）有最小值-1.

①∵f（x）=•=（cosx + sinx）•（cosx – sinx）+ sinx•2cosx

∴f(x)的最小正周期T=

②∵,∴，

∴当，即时，f（x）有最大值；

当，时，f（x）有最小值-1.

题型：填空题

填空题

如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则＝________.

正确答案

－a＋b＋c

＝＋＝＋＝－a＋b＋c.

题型：填空题

填空题

直线l的方向向量为=(-1,1,1),平面π的法向量为=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面π,则x的值为___________.

正确答案

试题分析：若直线l∥平面π，则，而，解得.

题型：填空题

填空题

已知空间三点,则以AB，AC为边的平行四边形的面积____

正确答案

，则向量在方向上的射影为，而，所以边上的高，故以为边的平行四边形的面积为

题型：填空题

填空题

已知三点共线，O为这条直线外一点，存在实数，使成立，则点分的比为___________．

正确答案

由题意知，分的比为．

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