空间向量及其运算
共1844题

空间向量及其运算
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题型：填空题

填空题

已知向量与平行,则= .

正确答案

本题考查向量的平行条件

由向量与平行得，解得

所以

评注：若空间两个向量互相平行，则其坐标对应成比例.

题型：填空题

填空题

空间坐标系中，给定两点A、B，满足条件|PA|=|PB|的动点P的轨迹方程是．（即P点的坐标x、y、z间的关系式）

正确答案

x＋4y+z=3

设，因为，所以，化简可得，即

题型：简答题

简答题

如图：已知三棱锥中，面，，，为上一点，，分别为的中点.

(1)证明：.

(2)求面与面所成的锐二面角的余弦值.

(3)在线段(包括端点)上是否存在一点，使平面？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由.

正确答案

（1）如图建立空间直角坐标系：则

（2）面的法向量为面的法向量为

设面与面所成的锐二面角为，则

（3）若假设在线段上存在一点，且，使平面，则有

∥ ∥ ，满足.

在线段上存在一点，使平面，此时点与点重合.

略

题型：填空题

填空题

已知平面向量不共线，且两两之间的夹角都相等,若,则与的夹角是 ▲ .

正确答案

依题意可得之间的夹角都为，则，所以，故。设与的夹角为，则，故

题型：填空题

填空题

若空间三点共线,则= =

正确答案

p=3,q=2

；因为A、B、C三点共线，所以

即；则解得

题型：填空题

填空题

在空间直角坐标系中，点的距离是___________.

正确答案

略

题型：填空题

填空题

在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，—3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是。

正确答案

（0，—1，0）

试题分析：设，由，可得，故.

点评：本题考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．

题型：简答题

简答题

已知向量．

（1）若，求向量的夹角；

（2）已知，且，当时，求x的值并求的值域．

正确答案

（1）（2）

（1）==

（2）==

由，得

+s-5

当, 即时,

题型：填空题

填空题

已知、，当取最小值时，的值为___________.

正确答案

略

题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥中，底面，，，，是的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值

正确答案

（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．，平面．

而平面，．…………………………………………（4分）

（Ⅱ）证明：由，，可得．

是的中点，．由（Ⅰ）知，，且，所以平面．而平面，．

底面在底面内的射影是，，．

又，综上得平面．………………………………（8分）

（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．因此是二面角的平面角．由已知，得．设，

可得．

在中，，，

则．

在中，．所以二面角的正切值为．

(I)证明：即可.

(II)分别证明：即可.

(III)可以利用空间向量的知识直接求，也可以直接根据三垂线定理作出二面角的平面角解三角形即可

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