空间向量及其运算_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知长方体ABCD-A′B′C′D′的上，下底面都是边长为3的正方形，长方体的高为4，如图建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量．

（1）AB′（2）BB′（3）B′D（4）CB′．

正确答案

解：如图所示，

B′，A，B，C，D．

∴（1）=（0，0，4）；

（2）=（0，0，-4）；

（3）=；

（4）=．

解析

解：如图所示，

B′，A，B，C，D．

∴（1）=（0，0，4）；

（2）=（0，0，-4）；

（3）=；

（4）=．

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题型：填空题

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填空题

如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是=（1，0，1），=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______．

正确答案

由题意，这条斜线与平面所成的角就是两方向向量的夹角．

∵=（1，0，1），=（0，1，1），

∴cos＜，＞===

∴＜，＞=60°

∴这条斜线与平面所成的角是60°

故答案为：60°

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题型：填空题

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填空题

已知点A（1，-2，0）和向量=（-3，4，12），若=2，则点B的坐标为______．

正确答案

∵向量=（-3，4，12），=2，

∴=（-6，8，24）

∵点A（1，-2，0）

∴B（-6+1，8-2，24-0）=（-5，6，24）

故答案为：（-5，6，24）

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题型：填空题

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填空题

已知：={2，-3，1}，={2，0，-2}，={-1，-2，0}，=2-3+，则的坐标为______．

正确答案

∵=(2，-3，1)，=(2，0，-2)，=(-1，-2，0)

∴=2- 3+=2(2，-3，1)-3(2，0，-2)+(-1，-2，0)

=（4，-6，2）-（6，0，-6）+（-1，-2，0）

=（-3，-8，8）

故答案为：（-3，-8，8）

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中，，，．

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的大小．

正确答案

（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．）

方法1：（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，所以．………………………………………………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．………………………………………………………………………7分

过点作于点，连接，

由（1）知，，，所以平面．

因为平面，所以．

所以为二面角的平面角．…………………………………………………………9分

由（1）知，平面，平面，

所以，即△为直角三角形．

在△中，，，则．

由，解得．

因为．…………………………………………………………………………13分

所以．

所以二面角的平面角大小为．………………………………………………………14分

方法2：（1）证明：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………2分

解得

所以，．………………………………………………………………………3分

以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．

………………………5分

因为，

所以．

所以．…………………………………………………9分

（2）解：设是平面的法向量，因为，

所以即

取，则是平面的一个法向量．……………………………………………11分

由（1）知，，又，，所以平面．

所以是平面的一个法向量．……………………………………………………12分

因为，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小为．………………………………………………………14分

方法3：（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，

所以．…………………………………………………………………………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．………………………………………………………………………7分

以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．

…………………………9分

设是平面的法向量，

则即

取，则是平面的一个法向量．………11分

由（1）知，，又，，

所以平面．

所以是平面的一个法向量．……………………………………………………12分

因为，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小为．………………………………………………………14分

略

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题型：简答题

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简答题

如图，四棱锥的底面是正方形，平面，为上的点，且.

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

正确答案

（1）详见解析；（2）二面角的余弦值为.

试题分析：（1）要证，先证平面，则要证明垂直于平面内的两条相交直线，先由正方形的对角线互相垂直得到，再由平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定理得到平面，从而得到；（2）以为原点，、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值.

试题解析：（1）∵平面，∴，

∵底面是正方形，∴，∴平面，

∵平面，∴.

（2）以为原点，、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系．

设，则，，因为，

易知，，,，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，，

即，令，得，同理可取平面的法向量，

所以，所以二面角的余弦值为.

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题型：简答题

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简答题

已知在长方体中，点为棱上任意一点，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若点为棱的中点，点为棱的中点，求二面角的余弦值.

正确答案

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为．

试题分析：（Ⅰ）求证：平面平面，证明两个平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可，由长方体的性质，易证平面，从而可证平面平面；（Ⅱ）若点为棱的中点，点为棱的中点，求二面角的余弦值，求二面角问题，可用传统方法，找二面角的平面角，但本题不易找，另一种方法，用向量法，本题因为是长方体，容易建立空间坐标系，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，分别设出两个平面的法向量，利用向量的运算，求出向量，即可求出二面角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）为正方形 2分

平面 4分

又，平面平面平面 6分

（Ⅱ）建立以为轴，以为轴，以为轴的空间直角坐标系 7分

设平面的法向量为，

9分

设平面的法向量为，

11分

13分

二面角的余弦值为 14分

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题型：填空题

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填空题

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E，F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心，求下列各式中的x，y的值：

（1）=x(++)，则x=______；

（2）=+x+y，则x=______，y=______；

（3）=+x+y，则x=______，y=______．

正确答案

（1）根据向量加法的首尾相连法则，x=1；

（2）由向量加法的三角形法则得，=+，

由四边形法则和向量相等得，=（+）=（+）；

∴=++，∴x=y=；

（3）由向量加法的三角形法则得，=+，

由四边形法则和向量相等得，=（+）=（+）；

∴=++，

∴x=y=．

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题型：填空题

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填空题

已知A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），则在上的投影为______．

正确答案

∵A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），

∴=(4，-5，0)，

=(0，4，-3)，

∴在上的投影=||cos＜，＞

=×

=-4．

故答案为：-4．

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题型：简答题

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简答题

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．

(1)证明：PA∥平面BDE；

(2)求二面角B-DE-C的余弦值．

正确答案

(1)见解析(2)

(1)连接AC交BD于点O，连接OE；在△CPA中，E，O分别是边CP，CA的中点，∴OE∥PA，而OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.

(2)如图建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝2.

则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，

B(2,2,0),＝(0,1,1)，＝(2,2,0)．，

设n＝(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，则由得

取y＝－1，得n＝(1，－1,1)，又＝(2,0,0)是平面DEC的一个法向量．

∴cos〈n，〉＝＝.

故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为

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