解三角形的实际应用
共2652题

· 解三角形的实际应用

解三角形的实际应用
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题型：简答题

简答题

在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，P=（a+c，b），Q=（c-a，b-c），且p⊥q．

（1）求A的大小；

（2）记f(B)=2sin2B+sin(2B+)，求f(B)的值域．

正确答案

（1）由题意知⊥，所以•=（a+c）（c-a）+b（b-c）=0，

即b2+c2-a2=bc．

在△ABC中，由余弦定理，cosA==．

又∵A∈(0，π)，所以A=．

（2）f(B)=2sin2B+sin(2B+)=1-cos2B+(sin2B+cos2B)=sin(2B-)+1．

又△ABC为锐角三角形，

所以B∈(0，)，C=-B∈(0，)，

即＜B＜，所以＜2B-＜，

所以＜sin(2B-)≤1，

故f(B)的值域为(，2]．

题型：简答题

简答题

已知f(x)=3sinωxcosωx-cos2ωx+2sin2(ωx-)+（其中ω＞0）的最小正周期为π．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f(A)=1，求角C．

正确答案

（1）f(x)=sinωx-(1+cos2ωx)+1-cos2(ωx-)+=sin2ωx-cos2ωx-cos(2ωx-)+1=2sin(2ωx-)+1∵T=π，ω＞0，∴T==π，ω=1∴f(x)=2sin(2x-)+1

故递增区间为[kπ-，kπ+] k∈Z

（2）∴sin(2A-)=0∵-＜2A-＜∴2A-=0或2A-=π

即A=或A=

又a＜b，∴A＜B，故A=舍去，∴A=．

由=得sinB=，∴B=或B=，

若B=，则C=．

注意：没有说明“∵-＜2A-＜”扣（2分）

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=sin2x+2cos2x-m．

（1）若方程f（x）=0在x∈[0，]上有解，求m的取值范围；

（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，当（1）中的m取最大值且f（A）=-1，b+c=2时，求a的最小值．

正确答案

（1）f(x)=2sin(2x+)+1-m，∴m=2sin(2x+)+1在[0，]内有解

∵0≤x≤，∴≤2x+≤∴0≤2sin(2x+)+1≤3，∴0≤m≤3

（2）∵m=3，∴f(A)=2sin(2A+)-2=-1，

∴sin(2A+)=，∴2A+=+2kπ或2A+=+2kπ，(k∈Z)

∵A∈（0，π）∴A=

∵b+c=2≥2

当且仅当b=c时bc有最大值1．

∵a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-3bc=4-3bc，

∴a有最小值1，此时b=c=1．

题型：简答题

简答题

已知=(cos，2cos)，=(2cos，-sin)，函数f(x)=•．

（1）设θ∈[-， ]，且f(θ)=+1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1，f(C)=+1，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．

正确答案

（1）根据题意化简得：f(x)=2cos2-2sincos=(1+cosx)-sinx=2cos(x+)+（3分）

由f（θ）=2cos(θ+)+=+1，得cos(θ+)=，（5分）

于是θ+=2kπ±(k∈Z)，

因为θ∈[-， ]，所以θ=-或；（7分）

（2）因为C∈（0，π），由（1）知C=．（9分）

因为△ABC的面积为，所以=absin，于是ab=2．①

在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos=a2+b2-6，所以a2+b2=7．②

由①②可得或

于是a+b=2+，（12分）

由正弦定理得===，

所以sinA+sinB=(a+b)=1+．（14分）

题型：简答题

简答题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，cos（C+）+cos（C-）=．

（I）求角C的大小；

（II）若c=2，sinA=2sinB，求a，b．

正确答案

（I）由cos（C+）+cos（C-）=2cosCcos=cosC=，

得到cosC=，因为C为三角形的内角，所以C=；

（II）由sinA=2sinB得：=2，根据正弦定理得：=2，即a=2b①，

又c2=a2+b2-2abcosC，c=2，C=，所以a2+b2-ab=12②，

联立①②，解得a=4，b=2．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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