解三角形的实际应用
共2652题

· 解三角形的实际应用

解三角形的实际应用
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题型：简答题

简答题

如图所示，在某定点测得一船初始位置在的北偏西度，min后船在正北，又min后船到达的北偏东度，船的航向与速度都不变，航向为北偏东度．求．

正确答案

在中，由正弦定理知：

　　　①

在中，由正弦定理知　　　②

由①②知：又，．

sinsin(-)=sinsin(+)

整理得，．

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=sinx+cos（x+），x∈R

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；

（Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，且a=b，求角C的值．

正确答案

（Ⅰ）函数f（x）=sinx+cos（x+）=sinx+cosx-sinx=sin（x+），

故函数的最小正周期等于 =2π，当x=2kπ+，k∈z时，函数有最大值为1，

当x=2kπ-，k∈z时，函数有最小值等于-1．

故函数f（x）的值域为[1，1]．

（Ⅱ）由f（A）=可得 sin（A+）=．再由△ABC的内角为A，∴A+=，A=．

又a=b，由正弦定理可得 =，∴sinB=1，∴B=．

再由三角形内角和定理可得C=π-A-B=．

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=cos(x-)-cosx(x∈R)．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)=-，b=1，c=，求a的值．

正确答案

（Ⅰ）∵f(x)=cos(x-)-cosx=sinx-cosx=sin(x-)．

∴函数f（x）的最小正周期为2π，

∵正弦函数的递增区间为[2kπ-，2kπ+]，即2kπ-≤x-≤2kπ+，

∴2kπ-≤x≤2kπ+，

则函数f（x）的递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z ）；（6分）

（Ⅱ）根据题意得：f(B)=sin(B-)=-，

∴sin(B-)=-．

∵0＜B＜π，∴-＜B-＜，

∴B-=-，即B=． …（9分）

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，

∴1=a2+3-2×a××，即a2-3a+2=0，

故a=1或a=2． …（12分）

题型：简答题

简答题

（本小题12分）已知满足.

（1）将表示为的函数，并求的单调递增区间；

（2）已知三个内角、、的对边分别为、、，若，且，求面积的最大值．

正确答案

（1）即为的单调递增区间.

（2）面积的最大值为

（1）根据数量积的坐标表示建立关于x,y的等式关系，再借助两角和与差的正余弦公式化简可得f(x)的表达式。

（2）先求,确定出角A的大小，再根据a=2,利用余弦定理可知

,从而求出bc的最大值，进而得到面积的最大值。

解：（1）

所以，………………………3分

令，得即为的单调递增区间. ………………6分

（2）又

………………………………8分

在中由余弦定理有,

可知(当且仅当时取等号),

即面积的最大值为 ………………………………12分

题型：简答题

简答题

设函数f(x)=cos(2x-)-2sin2x

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）△ABC，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且f(B)=．b=1，c=，求a的值．

正确答案

（Ⅰ）∵f(x)=cos(2x-)-2sin2x=cos2xcos+sin2xsin-（1-cos2x）

=cos2x+sin2x+cos2x-1=（sin2x+cos2x）-1

=sin（2x+）-1，

∴T==π，

∵正弦函数的递增区间为：[2kπ-，2kπ+]，

∴当2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤kπ+时，函数f（x）单调递增，

则函数f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+] (k∈Z)；

（Ⅱ）∵B∈(0，π)，f(B)=，即sin（2B+）-1=，

∴sin（2B+）=，

∴2B+=或2B+=（舍去），

∴B=，即sinB=，又b=1，c=，

由正弦定理得：sinC==，又C∈（0，π），

∴C=或，

当C=时，由B=得到A=，即三角形为直角三角形，

由b=1，c=，根据勾股定理得：a=2；

当C=时，由B=得到A=，即三角形为等腰三角形，

则a=b=1，

综上，a的值为2或1．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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