- 二维形式的柯西不等式
- 共66题
已知a+b=1，求证：a3+b3+3ab=1．
正确答案
证明：∵a+b=1，∴b=1-a．
∴a3+b3+3ab=a3+（1-a）3+3a（1-a）=a3+1-3a+3a2-a3+3a-3a2=1
即a3+b3+3ab=1．
解析
证明：∵a+b=1，∴b=1-a．
∴a3+b3+3ab=a3+（1-a）3+3a（1-a）=a3+1-3a+3a2-a3+3a-3a2=1
即a3+b3+3ab=1．
实数a、b、c满足a2+b2+c2=5．则6ab-8bc+7c2的最大值为______．
正确答案
45
解析
解：因为5=a2+b2+c2=a2+（
=（a2+
≥
≥
=
所以，6ac-8bc+7c2≤9×5=45，
即6ac-8bc+7c2的最大值为45，当且仅当：a2=
解得，a2=
故答案为：45．
已知（a2-a1）2+（a3-a2）2+（a4-a3）2+（a5-a4）2+（a6-a5）2=1，求（a6+a5）-（a1+a4）的最大值．
正确答案
解：由柯西不等式可得：
[（a2-a1）2+（a3-a2）2+（a4-a3）2+（a5-a4）2+（a6-a5）2]（1+1+1+4+1）
≥[（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+2（a5-a4）+（a6-a5）]2=[（a5+a6）-（a1+a4）]2，
∴[（a5+a6）-（a1+a4）]2≤8，
∴（a5+a6）-（a1+a4）≤2
∴（a5+a6）-（a1+a4）的最大值为2
解析
解：由柯西不等式可得：
[（a2-a1）2+（a3-a2）2+（a4-a3）2+（a5-a4）2+（a6-a5）2]（1+1+1+4+1）
≥[（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+2（a5-a4）+（a6-a5）]2=[（a5+a6）-（a1+a4）]2，
∴[（a5+a6）-（a1+a4）]2≤8，
∴（a5+a6）-（a1+a4）≤2
∴（a5+a6）-（a1+a4）的最大值为2
（1）证明柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；
（2）若a，b∈R+且a+b=1，用柯西不等式求
正确答案
解：（1）证明：（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ad-bc）2≥0
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．
（2）由柯西不等式可得（12+12）[（
∵a+b=1，∴（
解析
解：（1）证明：（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ad-bc）2≥0
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．
（2）由柯西不等式可得（12+12）[（
∵a+b=1，∴（
（1）解不等式|2x-1|＜|x|+1
（2）设x，y，z∈R，x2+y2+z2=4，试求x-2y+2z的最小值及相应x，y，z的值．
正确答案
解：（1）当x＜0时，原不等式可化为-2x+1＜-x+1，解得x＞0，
又x＜0，故x不存在；
当0≤x＜
∴0＜x＜
当x≥
∴
综上所述，原不等式的解集为：{x|0＜x＜2}；
（2）（x-2y+2z）2≤（x2+y2+z2）[12+（-2）2+22]=4×9=36，
∴x-2y+2z的最小值为-6，
此时
∴x=-
解析
解：（1）当x＜0时，原不等式可化为-2x+1＜-x+1，解得x＞0，
又x＜0，故x不存在；
当0≤x＜
∴0＜x＜
当x≥
∴
综上所述，原不等式的解集为：{x|0＜x＜2}；
（2）（x-2y+2z）2≤（x2+y2+z2）[12+（-2）2+22]=4×9=36，
∴x-2y+2z的最小值为-6，
此时
∴x=-
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