- 万有引力定律及其应用
- 共7173题
探路者号飞船发现，A、B两行星的半径之比为a，各自的第一宇宙速度之比为b，则下列结论不正确的有（ ）
正确答案
解析
解：AB、根据mg=
C、轨道半径越小，周期越小，根据
D、轨道半径越小，角速度最大，最小周期之比为a：b，则最大角速度之比为b：a．故D错误．
本题选择错误的是，故选：D．
由于地球的自转，物体在地球上不同纬度处随地球自转所需向心力的大小不同，因此同一个物体在地球上不同纬度处重力大小也不同，在地球赤道上的物体受到的重力与其在地球两极点受到的重力大小之比约为299：300，因此我们通常忽略两者的差异，可认为两者相等．而有些星球，却不能忽略．假如某星球因为自转的原因，一物体在赤道上的重力与其在该星球两极点受到的重力大小之比为7：8，已知该星球的半径为R，求：
（1）绕该星球运动的同步卫星的轨道半径r；
（2）若已知该星球赤道上的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，则该星球的密度ρ．
正确答案
解：（1）设物体质量为m，星球质量为M，星球的自转周期为T，物体在星球两极时，万有引力等于重力，即：
物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力G赤，有：F万=G赤+Fn
因为
得：
该星球的同步卫星的周期等于自转周期T，则有：
联立解得：r=2R
（2）在星球赤道上，有：
可得：
又因星球的体积：
所以该星球的密度：
答：（1）绕该星球运动的同步卫星的轨道半径为2R；
（2）若已知该星球赤道上的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，则该星球的密度为
解析
解：（1）设物体质量为m，星球质量为M，星球的自转周期为T，物体在星球两极时，万有引力等于重力，即：
物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力G赤，有：F万=G赤+Fn
因为
得：
该星球的同步卫星的周期等于自转周期T，则有：
联立解得：r=2R
（2）在星球赤道上，有：
可得：
又因星球的体积：
所以该星球的密度：
答：（1）绕该星球运动的同步卫星的轨道半径为2R；
（2）若已知该星球赤道上的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，则该星球的密度为
在火箭发射阶段，宇航员发现当飞船随火箭以
（1）该处的重力加速度g‘与地表处重力加速度g的比值；
（2）火箭此时离地面的高度h．
正确答案
解：（1）根据牛顿第二定律有：
a=
解得g′=
则：
（2）根据万有引力等于重力得：
得：
火箭此时离地面的高度：
答：（1）该处的重力加速度g‘与地表处重力加速度g的比值为4：9．（2）火箭此时离地面的高度为
解析
解：（1）根据牛顿第二定律有：
a=
解得g′=
则：
（2）根据万有引力等于重力得：
得：
火箭此时离地面的高度：
答：（1）该处的重力加速度g‘与地表处重力加速度g的比值为4：9．（2）火箭此时离地面的高度为
某质量分布均匀的球状天体密度为ρ0，半径为R，引力常量为G．
（1）证明：贴近该天体表面运行的卫星的运动周期与天体的大小无关．
（2）假设该天体表面充满厚度为d=0.5R、密度为ρ=
正确答案
（1）设环绕其表面运行卫星的质量为m，运动周期为T，球形天体半径为R，天体质量为M，由牛顿第二定律有：
而天体的质量为：M=
由①②式解得
（2）设该天体的同步卫星距天体中心的距离为r，同步卫星的质量为m0，则有：
而
由②③④式代入数据可解得：r=2R
则该天体的同步卫星距表面的高度为：h=r-R=R
答：（1）证明见解答；
（2）环绕该天体运动的同步卫星距天体表面的高度为R．
解析
（1）设环绕其表面运行卫星的质量为m，运动周期为T，球形天体半径为R，天体质量为M，由牛顿第二定律有：
而天体的质量为：M=
由①②式解得
（2）设该天体的同步卫星距天体中心的距离为r，同步卫星的质量为m0，则有：
而
由②③④式代入数据可解得：r=2R
则该天体的同步卫星距表面的高度为：h=r-R=R
答：（1）证明见解答；
（2）环绕该天体运动的同步卫星距天体表面的高度为R．
有一颗X行星，距地球很远，为了探测该行星，发射了一颗绕该星球做圆运动的卫星，其运行平面与地球上的观测站在同一平面内（不考虑地球的自转），在地球上的观测站发现：①该卫星的运行速率为v；②t0时间内可观测到，大约t0时间内不可见．
（1）该X行星的质量M是多少？
（2）该星球表面的重力加速度g多大？
（3）在高度不太大时（数百米高），测得物体在该星球表面下落时，所受大气阻力与速度平方成正比（F=kv2）．假设我们发射一宇宙飞船，释放的登陆器（质量为m）悬停在距该星球表面h（h数十米高，远小于X行星的半径）处，让登陆器先以加速度等于该星球表面的重力加速度g匀加速下落
正确答案
解：（1）由题意得：T=2t0
线速度v=
解得：R=
根据万有引力提供向心力得：
解得：M=
（2）根据
解得：g=
（3）登陆器先以加速度等于该星球表面的重力加速度g匀加速下落
解得：
此时的速度为：
从自由下落到着地的时间为：t=2
因为空气阻力f=kv2，且又是匀加速运动，所以由
阻力与位移是线性关系，其图象（v2-x及f-x）如图所示：
所以整个过程克服阻力的功就是f-x图象中的面积，则有：
设发动机做的功为W，根据动能定理得：mgh-Wf+W=0
解得：
答：（1）该X行星的质量M为
（2）该星球表面的重力加速度g为
（3）发动机对登陆器所做的功W为
解析
解：（1）由题意得：T=2t0
线速度v=
解得：R=
根据万有引力提供向心力得：
解得：M=
（2）根据
解得：g=
（3）登陆器先以加速度等于该星球表面的重力加速度g匀加速下落
解得：
此时的速度为：
从自由下落到着地的时间为：t=2
因为空气阻力f=kv2，且又是匀加速运动，所以由
阻力与位移是线性关系，其图象（v2-x及f-x）如图所示：
所以整个过程克服阻力的功就是f-x图象中的面积，则有：
设发动机做的功为W，根据动能定理得：mgh-Wf+W=0
解得：
答：（1）该X行星的质量M为
（2）该星球表面的重力加速度g为
（3）发动机对登陆器所做的功W为
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