- 万有引力定律及其应用
- 共7173题
某天体约是地球质量的32倍，半径越是地球半径的2倍，已知地球表面的重力加速度为9.8m/s2．求：
（1）该天体表面的重力加速度为多大？
（2）如果分别在该天体表面和地球表面以同样的初速度竖直上抛一物体，物体在该天体上上升的最大高度与在地球上上升的最大高度之比是多少？
正确答案
解：（1）在星球表面重力与万有引力大小相等有：
可得该天体表面的重力加速度
（2）据竖直上抛运动规律可知，以v0竖直上抛一物体，上升的最大高度h=
所以可知，
答：（1）该天体表面的重力加速度为78.4m/s2；
（2）如果分别在该天体表面和地球表面以同样的初速度竖直上抛一物体，物体在该天体上上升的最大高度与在地球上上升的最大高度之比是1：8．
解析
解：（1）在星球表面重力与万有引力大小相等有：
可得该天体表面的重力加速度
（2）据竖直上抛运动规律可知，以v0竖直上抛一物体，上升的最大高度h=
所以可知，
答：（1）该天体表面的重力加速度为78.4m/s2；
（2）如果分别在该天体表面和地球表面以同样的初速度竖直上抛一物体，物体在该天体上上升的最大高度与在地球上上升的最大高度之比是1：8．
设地球和火星都在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径为地球轨道半径的1.5倍．现从地球表面向火星发射火星探测器，发射过程分两步，第一步：在地球表面用火箭对探测器加速，使它脱离地球引力成为一个沿地球轨道运动的“星体”；第二步：在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使探测器沿半个椭圆轨道（该椭圆长轴两端分别与地球公转轨道及火星公转轨道相切，如图1所示）射到火星上．
（1）求火星公转的周期为多少天（地球日）？
（2）求火星探测器沿椭圆轨道运动到火星上经历的时间为多少天？
（3）当探测器沿地球轨道稳定运动后，在某年5月1日零时，测得探测器与火星间的角距离为60°，如图2所示，问应在何年何月何日点燃探测器的发动机，才能使探测器正好落在火星上？
正确答案
解：（1）根据开普勒第三定律得：
因为r火=1.5r地
解得：T火=1.8T地=1.8×365=657天，即火星公转的周期为657天，
（2）探测器和地球都围绕太阳运动，设探测器的周期为t，地球周期为T0．依据开普勒第三定律有：
探测器的飞行时间
（3））为使探测器沿椭圆轨道到达与火星轨道的相切点时，火星恰好运行到这一点，必须选择适当时机点燃火箭发动机．
地球公转的运动周期Td=365天
地球公转的角速度
火星公转周期Tm=657天
火星公转角速度ωm=
探测器从点燃火箭发动机至到达火星所需时间为
探测器运行至火星的251天内，火星运行的角度为θm=ωmt1=0.548°/天×251天=137.5°
为了使探测器到达火星轨道时，正好射到火星上，那么探测器在椭圆轨道近日点点燃火箭发动机时，火星应在其远日点的切点之前137.5°处，即探测器点燃发动机时，与火星的角度应为180°-137.5°=42.5°
但是，已知某年3月1日零时探测器与火星的角距离为 60°（火星在前，探测器在后），为使其角度成为 42.5°，必须等待一段时间，设为t天，使二者达到角距离42.5°的合适位置．t 满足60°-42.5°=（ωd-ωm）
因此点燃火箭发动机的时刻应为当年的 3月1日之后42天，即同年的 4月11日．
答：（1）火星公转的周期为657天；
（2）火星探测器的飞行时间为251天；
（3）应在同年的 4月11日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面．
解析
解：（1）根据开普勒第三定律得：
因为r火=1.5r地
解得：T火=1.8T地=1.8×365=657天，即火星公转的周期为657天，
（2）探测器和地球都围绕太阳运动，设探测器的周期为t，地球周期为T0．依据开普勒第三定律有：
探测器的飞行时间
（3））为使探测器沿椭圆轨道到达与火星轨道的相切点时，火星恰好运行到这一点，必须选择适当时机点燃火箭发动机．
地球公转的运动周期Td=365天
地球公转的角速度
火星公转周期Tm=657天
火星公转角速度ωm=
探测器从点燃火箭发动机至到达火星所需时间为
探测器运行至火星的251天内，火星运行的角度为θm=ωmt1=0.548°/天×251天=137.5°
为了使探测器到达火星轨道时，正好射到火星上，那么探测器在椭圆轨道近日点点燃火箭发动机时，火星应在其远日点的切点之前137.5°处，即探测器点燃发动机时，与火星的角度应为180°-137.5°=42.5°
但是，已知某年3月1日零时探测器与火星的角距离为 60°（火星在前，探测器在后），为使其角度成为 42.5°，必须等待一段时间，设为t天，使二者达到角距离42.5°的合适位置．t 满足60°-42.5°=（ωd-ωm）
因此点燃火箭发动机的时刻应为当年的 3月1日之后42天，即同年的 4月11日．
答：（1）火星公转的周期为657天；
（2）火星探测器的飞行时间为251天；
（3）应在同年的 4月11日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面．
正确答案
解析
解：A、B设每隔时间T，a、b相距最近，则（ωa-ωb）T=2π，所以有：
T=
故b运动一周的过程中，a、b相距最近的次数为：
n=
C、设每隔时间t，a、b共线一次，则（ωa-ωb）t=π，所以：
t=
故b运动一周的过程中，a、b、c共线的次数为：
n=
故a、b、c共线的次数为2k-2，故C错误．
D、由上知D正确
故选：D．
设想一宇航员在某一星球登陆，测得质量为m的物体在其“赤道”的重力比在其极地的重力小10%，另测得该行星的自转周期为T0，则当该行星的自转角速度达到多大时，其“赤道”上的物体将“漂浮”起来？
正确答案
解：物体在赤道时：
物体在两极时：
根据题意：mg1=0.9mg2
要使物体飘浮：
联立解得：
答：当该行星的自转角速度达到
解析
解：物体在赤道时：
物体在两极时：
根据题意：mg1=0.9mg2
要使物体飘浮：
联立解得：
答：当该行星的自转角速度达到
若探月飞船绕月运行的圆形轨道半径增大，则飞船的（ ）
正确答案
解析
解：A、研究飞船绕月运行做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：
解得：v=
B、根据A选项分析，故B错误．
C、研究飞船绕月运行做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：
解得：T=2π
D、根据C选项分析，故D正确．
故选D．
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