- 万有引力定律及其应用
- 共7173题
据报道，中国“嫦娥四号”将在2020年前择时发射，届时将开展人类首次对月球背面的地质探测，设地球、月球的质量分别为m1、m2，半径分别为R1、R2，地球第一宇宙速度为v，所对应的周期为T，试求“嫦娥四号”在环绕月球表面附近圆轨道飞行的速度和周期．
正确答案
解：根据题意可知，人造地球卫星围绕地球表面做匀速圆周运动时，速度为v，周期为T，
根据万有引力提供向心力得：
“嫦娥四号”在环绕月球表面附近圆轨道飞行做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力得：
解得：v2=
答：“嫦娥四号”在环绕月球表面附近圆轨道飞行的速度为
解析
解：根据题意可知，人造地球卫星围绕地球表面做匀速圆周运动时，速度为v，周期为T，
根据万有引力提供向心力得：
“嫦娥四号”在环绕月球表面附近圆轨道飞行做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力得：
解得：v2=
答：“嫦娥四号”在环绕月球表面附近圆轨道飞行的速度为
我国已于2004年启动“嫦娥绕月工程”，2007年之前将发射绕月飞行的飞船．已知月球半径R，月球表面的重力加速度g．如果飞船关闭发动机后绕月做匀速圆周运动，距离月球表面的高度h，求：
（1）飞船绕月球运行加速度的大小；
（2）飞船速度的大小．
正确答案
解：（1）设飞船在轨道上运行时轨道半径为r=R+h，加速度为a
由牛顿第二定律得：
在月球表面，不计自转因素重力与万有引力相等有：
由①②式解得：
（2）设飞船在轨道上运行时速度为v，
由牛顿第二定律得：
由②④式解得：
答：（1）飞船绕月球运行加速度的大小为
（2）飞船速度的大小为
解析
解：（1）设飞船在轨道上运行时轨道半径为r=R+h，加速度为a
由牛顿第二定律得：
在月球表面，不计自转因素重力与万有引力相等有：
由①②式解得：
（2）设飞船在轨道上运行时速度为v，
由牛顿第二定律得：
由②④式解得：
答：（1）飞船绕月球运行加速度的大小为
（2）飞船速度的大小为
深空探测一直是人类的梦想．2013年12月14日“嫦娥三号”探测器成功实施月面软着陆，中国由此成为世界上第3个实现月面软着陆的国家．如图所示为此次探测中，我国科学家在国际上首次采用的由接近段、悬停段、避障段和缓速下降段等任务段组成的接力避障模式示意图．请你应用学过的知识解决下列问题．
（1）已知地球质量约是月球质量的81倍，地球半径约是月球半径的4倍．将月球和地球都视为质量分布均匀的球体，不考虑地球、月球自转及其他天体的影响．求月球表面重力加速度g月与地球表面重力加速度g的比值．
（2）由于月球表面无大气，无法利用大气阻力来降低飞行速度，我国科学家用自行研制的大范围变推力发动机实现了探测器中途修正、近月制动及软着陆任务．在避障段探测器从距月球表面约100m高处，沿与水平面成45°夹角的方向，匀减速直线运动到着陆点上方30m高处．已知发动机提供的推力与竖直方向的夹角为θ，探测器燃料消耗带来的质量变化、探测器高度变化带来的重力加速度g月的变化均忽略不计，求此阶段探测器的加速度a与月球表面重力加速度g月的比值．
正确答案
解：（1）根据万有引力提供星球表面的重力可知，由黄金代换式有：
则有：
（2）根据题目条件画出受力分析如图1所示，由矢量运算法则画出三角形如图2所示．由正弦定理可得：
解得：
答：（1）月球表面重力加速度g月与地球表面重力加速度g的比值为16：81．
（2）此阶段探测器的加速度a与月球表面重力加速度g月的比值为
解析
解：（1）根据万有引力提供星球表面的重力可知，由黄金代换式有：
则有：
（2）根据题目条件画出受力分析如图1所示，由矢量运算法则画出三角形如图2所示．由正弦定理可得：
解得：
答：（1）月球表面重力加速度g月与地球表面重力加速度g的比值为16：81．
（2）此阶段探测器的加速度a与月球表面重力加速度g月的比值为
天文学家在距离地球127光年处发现了一个拥有7颗行星的“太阳系”，这些行星与其中央恒星之间遵循基本天体运行规律，和我们太阳系的规则相似．这一星系的中央恒星名为“HD10180”．分析显示，其中一个行星绕中央恒星“HD10180”的公转周期为584天，是地球绕太阳公转周期的1.6倍；与中央恒星“HD10180”的距离是2.3亿公里，等于太阳和地球之间平均距离的1.6倍，将行星与地球的公转轨道视为圆．求恒星“HD10180”的质量与太阳的质量之比．
正确答案
解：设中央恒星质量为M1，这个行星质量为m1，行星绕恒星运转的轨道半径为r1，周期为T1；太阳质量为M2，地球质量为m2，地球绕太阳运转的轨道半径为r2，周期为T2
对行星：G
对地球：G
联立解得
答：恒星“HD10180”的质量与太阳的质量之比为1.6：1．
解析
解：设中央恒星质量为M1，这个行星质量为m1，行星绕恒星运转的轨道半径为r1，周期为T1；太阳质量为M2，地球质量为m2，地球绕太阳运转的轨道半径为r2，周期为T2
对行星：G
对地球：G
联立解得
答：恒星“HD10180”的质量与太阳的质量之比为1.6：1．
宇航员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经t秒后落回手中，已知该星球半径为R．
（1）要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是多大？
（2）要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是多大？已知取无穷远处引力势能为零时，物体距星球球心距离r时的引力势能为：
正确答案
解：
（1）竖直上抛上下时间是相等的，故由物体的竖直上抛得：
解得：
若不落回地面，则物体的重力应全部用来充当向心力，由此得：
解得：
=
（2）要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，其速度应达到第二宇宙速度，设为v2，由题目提示知其在星球表面的引力势能为：
又由：
解得：
②带入①式解得：
答：
（1）要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是
（2）要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是
解析
解：
（1）竖直上抛上下时间是相等的，故由物体的竖直上抛得：
解得：
若不落回地面，则物体的重力应全部用来充当向心力，由此得：
解得：
=
（2）要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，其速度应达到第二宇宙速度，设为v2，由题目提示知其在星球表面的引力势能为：
又由：
解得：
②带入①式解得：
答：
（1）要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是
（2）要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是
扫码查看完整答案与解析