- 万有引力定律及其应用
- 共7173题
宇航员驾驶宇宙飞船到达月球表面，关闭动力，飞船在近月圆形轨道绕月运行的周期为T；接着，宇航员调整飞船动力，安全着陆，宇航员在月球表面离地某一高度处将一小球以初速度v0水平抛出，其水平射程为s．已知月球的半径为R，万有引力常量为G，
求：（1）月球的质量M；
（2）小球开始抛出时离地的高度．
正确答案
解：（1）飞船绕月近地运行，月球对飞船的万有引力提供向心力，有：
可解得月球的质量M=
（2）小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，有：s=v0t
所以小球做平抛运动时间t=
竖直方向做自由落体运动，有：
在月球表面，小球受到月球的万有一你近似等于重力，有：
月球表面的重力加速度
小球开始抛出时离地的高度h=
答：（1）月球的质量M=
（2）小球开始抛出时离地的高度h=
解析
解：（1）飞船绕月近地运行，月球对飞船的万有引力提供向心力，有：
可解得月球的质量M=
（2）小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，有：s=v0t
所以小球做平抛运动时间t=
竖直方向做自由落体运动，有：
在月球表面，小球受到月球的万有一你近似等于重力，有：
月球表面的重力加速度
小球开始抛出时离地的高度h=
答：（1）月球的质量M=
（2）小球开始抛出时离地的高度h=
已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，林帅同学在地球上能向上竖直跳起的最大高度是h．但因为某种特殊原因，地球质量保持不变，而半径变为原来的一半，忽略自转的影响，下列说法正确的是（ ）
A地球的第一宇宙速度为原来的
B地球表面的重力加速度变为
C地球的密度变为原来的4倍
D林帅在地球上以相同的初速度起跳后，能达到的最大高度是
正确答案
解析
解：A、由G
B、由G
C、质量不变，由m=ρ
D、由h=
故选：AD．
假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨道都在同一平面内．己知地球表面处的重力加速度g=9.80m/s2，地球半径 R0=6.37×106m，月球质量m=7.3×1022kg，月球半径 Rm=1.7×106m，引力恒量G=6.67×10-11N•m2/kg2，月心地心间的距离约为r0m=3.84×108m
（ i ）月球的球心绕地球的球心运动一周需多少天？
（ ii ）地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？
（ iii ）若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，试估算火箭到达月球表面时的速度至少为多少（结果要求两位数字）？
正确答案
解：（1）月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动，设地球的质量为me，月球绕地心作圆周运动的角速度为ωm，由万有引力定律和牛顿定律有
另有：
月球绕地球一周的时间
由①②③三式解得：
（2）满月是当月球、地球、和太阳成一直线时才有的，此时地球在月球和太阳之间，即图中A的位置．当第二个满月时，由于地球绕太阳的运动，地球位置已运动到A′．若以Tm′表示相继两次满月经历的时间，ωe表示地球绕太阳运动的角速度，由于ωe和ωm的方向相同，故有
ωmTm′=2π+ωeTm′
而
式中Te为地球绕太阳运动的周期，Te=365天．由以上三式得
Tm′=
（3）从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球的引力作用．当火箭离地球较近时，地球的引力大于月球的引力；当离月球较近时，月球的引力大于地球的引力．作地心和月心的连线，设在地月间某一点处，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大小．以r表示到月球中心的距离，则有
式中m为火箭的质量，由上式得
解得：r=3.8×107m
从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达O点，则过O点后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到达月球，这样发射时火箭离开地面时的速度最小，它到达月球时的速度也最小．设火箭刚达到月球时的最小速度为v，则由机械能守恒定律有
解得：
答：（ 1 ）月球的球心绕地球的球心运动一周需27.4天；
（ 2）地球上的观察者相继两次看到满月需29.6天；
（ 3）若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，火箭到达月球表面时的速度至少为2.3×103m/s．
解析
解：（1）月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动，设地球的质量为me，月球绕地心作圆周运动的角速度为ωm，由万有引力定律和牛顿定律有
另有：
月球绕地球一周的时间
由①②③三式解得：
（2）满月是当月球、地球、和太阳成一直线时才有的，此时地球在月球和太阳之间，即图中A的位置．当第二个满月时，由于地球绕太阳的运动，地球位置已运动到A′．若以Tm′表示相继两次满月经历的时间，ωe表示地球绕太阳运动的角速度，由于ωe和ωm的方向相同，故有
ωmTm′=2π+ωeTm′
而
式中Te为地球绕太阳运动的周期，Te=365天．由以上三式得
Tm′=
（3）从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球的引力作用．当火箭离地球较近时，地球的引力大于月球的引力；当离月球较近时，月球的引力大于地球的引力．作地心和月心的连线，设在地月间某一点处，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大小．以r表示到月球中心的距离，则有
式中m为火箭的质量，由上式得
解得：r=3.8×107m
从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达O点，则过O点后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到达月球，这样发射时火箭离开地面时的速度最小，它到达月球时的速度也最小．设火箭刚达到月球时的最小速度为v，则由机械能守恒定律有
解得：
答：（ 1 ）月球的球心绕地球的球心运动一周需27.4天；
（ 2）地球上的观察者相继两次看到满月需29.6天；
（ 3）若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，火箭到达月球表面时的速度至少为2.3×103m/s．
2007年10月24日，我国嫦娥一号探月卫星成功发射．嫦娥一号卫星开始绕地球做椭圆轨道运动，经过变轨、制动后，成为一颗绕月球做圆轨道运动的卫星．设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T．已知月球的半径为R，引力常量为G．求：
（1）月球的质量M；
（2）月球表面的重力加速度g；
（3）嫦娥一号运行线速度v．
正确答案
解：（1）由题意知嫦娥一号的半径r=R+h，根据万有引力提供圆周运动向心力有：
可得月球的质量M=
（2）在月球表面重力与万有引力相等，
g=
（3）根据线速度与周期的关系有嫦娥一号的线速度v=
答：（1）月球的质量M为
解析
解：（1）由题意知嫦娥一号的半径r=R+h，根据万有引力提供圆周运动向心力有：
可得月球的质量M=
（2）在月球表面重力与万有引力相等，
g=
（3）根据线速度与周期的关系有嫦娥一号的线速度v=
答：（1）月球的质量M为
宇航员在地球上用一根长0.5m细绳拴着一个小球在竖直平面内做圆周运动，用传感器测出小球在最高点时的速度大小v=3m/s及绳上的拉力F=4N．若宇航员将此小球和细绳带到某星球上，在该星球表面上让小球也在竖直平面内做圆周运动，用传感器测出在最低点时绳上拉力F1=9N，速度大小v1=2
（1）该小球的质量m；
（2）该星球表面附近的重力加速度g′；
（3）已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地=1：4，求该星球与地球的质量之比M星：M地．
正确答案
解：（1）小球在最高点时，根据合力提供向心力得
mg+F=m
所以
（2）该星球表面上让小球也在竖直平面内做圆周运动，在最低点根据合力提供向心力，
所以
（3）在地球表面的物体受到的重力等于万有引力
同理该星球的质量
所以
答：（1）该小球的质量是0.5kg；
（2）该星球表面附近的重力加速度为2m/s2；
（3）该星球与地球的质量之为1：80．
解析
解：（1）小球在最高点时，根据合力提供向心力得
mg+F=m
所以
（2）该星球表面上让小球也在竖直平面内做圆周运动，在最低点根据合力提供向心力，
所以
（3）在地球表面的物体受到的重力等于万有引力
同理该星球的质量
所以
答：（1）该小球的质量是0.5kg；
（2）该星球表面附近的重力加速度为2m/s2；
（3）该星球与地球的质量之为1：80．
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