热门试卷

解：位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时（见下图），

它受到地球的引力可以表示为

，（1）

式中M′是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以ρ表示地球的密度，此质量可以表示为                 

                                （2）

于是，质量为m的物体所受地球的引力可以改写为

             （3）

作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小为

f=Fsinθ                （4）

                  （5）

θ为r与通道的中垂线OC间的夹角，x为物体位置到通道中

点C的距离，力的方向指向通道的中点C．在地面上物体的重力可以表示为

                               （6）

式中M0是地球的质量．由上式可以得到

                              （7）

由以上各式可以求得

                                 （8）

可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为

                                   （9）

物体将以C为平衡位置作简谐振动，振动周期为．

取x=0处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为m的静止物体到达x=0处的速度为v0，

则根据能量守恒，有

                       （10）

式中h表示地心到通道的距离．解以上有关各式，得

                             （11）

可见，到达通道中点C的速度与物体的质量无关．

设想让质量为M的物体静止于出口A处，质量为m的物体静止于出口B处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C处，并发生弹性碰撞．碰撞前，两物体速度的大小都是v0，方向相反，刚碰撞后，质量为M的物体的速度为V，质量为m的物体的速度为v，若规定速度方向由A向B为正，则有

Mv0-mv0=MV+mv，（12）

                 （13）

解式（12）和式（13），得

                            （14）

质量为m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B处时的速度为u，则有

                  （15）

由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得

                    （16）

u的方向沿着通道．根据题意，卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向，如果u的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有

                              （17）

由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到

                    （18）

已知M=20m，则得

h=0.925R0=5920km                         （19）

答：地心到该通道的距离为5920km．

解：（1）地球的质量为6.0×1024kg，太阳的质量为2.0×1030kg，轨道半径为1.5×1011m，故太阳对地球的引力大小为：

F=G=6.67×10-11×=3.6×1022N

（2）根据牛顿第二定律，地球绕太阳运转的向心加速度：

a===6.0×10-3m/s2

答：（1）太阳对地球的引力大小为3.6×1022N；

（2）地球绕太阳运转的向心加速度为6.0×10-3m/s2．

解：（1）由平抛运动的知识得：tan α=

则有：g=

（2）对星球表面物体有：G=mg，

得：M=

答：（1）该星球表面的重力加速度g为；

（2）该星球的质量M为．

解：根据万有引力定律F=G

代入数据计算F==6.67×10-7N

答：他们之间的万有引力是6.67×10-7N