- 万有引力定律及其应用
- 共7173题
宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若它在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间2.5t小球落回原处．（取地球表面重力加速度g=10m/s2，空气阻力不计，忽略星体和地球的自转）
（1）求该星球表面附近的重力加速g′；
（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地=1：2，求该星球的质量与地球质量之比M星：M地．
正确答案
解：（1）小球竖直上抛后做匀变速直线运动，取竖直向上为正方向，根据运动学规律有：
-v-v=gt；
-v-v=g′×2.5t，
代入数据解得：g′=4 m/s2．
（2）忽略星体和地球的自转，表面的物体受到的万有引力等于重力，有：
所以有M=
解得：M星：M地=1：10．
答：（1）该星球表面附近的重力加速度大小为4m/s2；
（2）该星球的质量与地球质量之比为1：10．
解析
解：（1）小球竖直上抛后做匀变速直线运动，取竖直向上为正方向，根据运动学规律有：
-v-v=gt；
-v-v=g′×2.5t，
代入数据解得：g′=4 m/s2．
（2）忽略星体和地球的自转，表面的物体受到的万有引力等于重力，有：
所以有M=
解得：M星：M地=1：10．
答：（1）该星球表面附近的重力加速度大小为4m/s2；
（2）该星球的质量与地球质量之比为1：10．
1997年8月26日在日本举行的国际天文学会上，德国Max Planck学会的一个研究组宣了他们的研究成果：银河系的中心可能存在一个在黑洞．他们的根据是用口径为3.5m的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得到的数据，他们发现，距离银河系中心约60亿公里的星体正以2000km/s的速度围绕银河系中心旋转．根据上面的数据，试在经典力学的范围内（见提示2），通过计算确认，如果银河系中心确实存在黑洞的话，其最大半径是多少．（引力常数G=6.67×10-20km3•kg-1•s-2）
提示：
（1）黑洞是一种密度极大的天体，其表面的引力是如此之强，以至于包括光在内的所有物质都不了其引力作用．
（2）计算中可以采用拉普拉斯经典黑洞模型，在这种模型中，在黑洞表面上的所有物质，即使初速度等于光速c也逃脱不了其引力的作用．
正确答案
解：
若某引力源的质量为M，半径为rB，质量为m的粒子在引力源表面的速度等于光速，但它仍不能逃离引力作用，
则按牛顿力学的观点应有下列关系：
或
设位于银河系中心的引力源的质量为M，绕银河系中心旋转的星体的质量为m，该星体做圆周运动时，有下列关系：
即 
r为轨道半径．若该引力源为黑洞，则其质量分布球的半径应满足（2）式，即
根据观测数据，v=2×103km/s=2×106m/s，r=60×108km=6×1012m，而c=3×108m/s，把这些数据代入（4）式，
得
这说明，对质量由（3）式决定的引力源来说，半径小于5.3×105km时才是黑洞，大于这个数值则不是黑洞．所以如果银河系中心存在黑洞的话，该黑洞的半径小于5.3×105km．
答：最大半径为5.3×105km．
解析
解：
若某引力源的质量为M，半径为rB，质量为m的粒子在引力源表面的速度等于光速，但它仍不能逃离引力作用，
则按牛顿力学的观点应有下列关系：
或
设位于银河系中心的引力源的质量为M，绕银河系中心旋转的星体的质量为m，该星体做圆周运动时，有下列关系：
即
r为轨道半径．若该引力源为黑洞，则其质量分布球的半径应满足（2）式，即
根据观测数据，v=2×103km/s=2×106m/s，r=60×108km=6×1012m，而c=3×108m/s，把这些数据代入（4）式，
得
这说明，对质量由（3）式决定的引力源来说，半径小于5.3×105km时才是黑洞，大于这个数值则不是黑洞．所以如果银河系中心存在黑洞的话，该黑洞的半径小于5.3×105km．
答：最大半径为5.3×105km．
在离月球表面高度为h处无初速度释放一物体，落在月球表面的速度为v，物体下落过程只受月球引力作用，已知月球的半径为R，则月球的质量为______，月球的平均密度为______．
正确答案
解析
解：在离月球表面高度为h处无初速度释放一物体，落在月球表面的速度为v，物体下落过程只受月球引力作用，
根据自由落体运动的规律得h=
g=
月球表面，重力等于万有引力
解得M=
根据密度定义式得ρ=
故答案为：
A冥王星从A→B→C的过程中，速率逐渐变大
B冥王星从A→B所用的时间等于
C冥王星从B→C→D的过程中，万有引力对它先做正功后做负功
D冥王星在B点的加速度为
正确答案
解析
解：A、根据第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等．所以冥王星从A→B→C的过程中，冥王星与太阳的距离增大，速率逐渐变小，故A错误；
B、公转周期为T0，冥王星从A→C的过程中所用的时间是0.5T0，由于冥王星从A→B→C的过程中，速率逐渐变小，从A→B与从B→C的路程相等，所以冥王星从A→B所用的时间小于
C、冥王星从B→C→D的过程中，万有引力方向先与速度方向成钝角，过了C点后万有引力方向与速度方向成锐角，所以万有引力对它先做负功后做正功，故C错误；
D、根据几何关系可知，冥王星在B点到太阳的距离为r=
故选：D．
火星的质量和半径分别约为地球的
正确答案
解析
解：根据星球表面的万有引力等于重力知道
火星的质量和半径分别约为地球的
所以
故g火=0.4g
故B正确、ACD错误．
故选：B．
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