- 导数的概念及其几何意义
- 共3697题
设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=2x2．
（Ⅰ） 求x＜0时，f（x）的表达式；
（Ⅱ） 令g（x）=lnx，问是否存在x0，使得f（x），g（x）在x=x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0值；若不存在，请说明理由．
正确答案
（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-2（-x）2=-2x2；（6分）
（Ⅱ）若f（x），g（x）在x0处的切线互相平行，则f'（x0）=g'（x0），（4分）
f′(x0)=4x0=g′(x0)=
∵x≥0，得x0=
已知函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），f（x）的图象在点P处的切线方程是x+y-8=0，若点P的横坐标是5，则f'（5）+f-1（3）=______．
正确答案
∵f（x）的图象在点P处的切线方程是x+y-8=0，若点P的横坐标是5
∴f'（5）=-1，f（5）=3
则f-1（3）=5
∴f'（5）+f-1（3）=-1+5=4
故答案为：4
已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下左表，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则
正确答案
由图知函数f（x）在[-2，0]上，f′（x）＜0，函数f（x）单减；
函数f（x）在[0，+∞）上，f′（x）＞0，函数f（x）单增；
故
已知函数f(x)=x3+2x2-ax+1，
(Ⅰ)若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，求实数a的值；
(Ⅱ)若函数g(x)=f′(x)在区间(-1，1)上存在零点，求实数a的取值范围．
正确答案
解：由题意，得g(x)=f′(x)=3x2+4x-a，
(Ⅰ)f′(1)=3+4-a=4，∴a=3；
(Ⅱ)(1)当g(-1)=-a-1=0，a=-1时，g(x)=f′(x)的零点
(2)当g(1)=7-a=0时，f′(x)的零点
(3)当g(1)g(-1)＜0时，-1＜a＜7；
(4)当
综上所述，
设函数g(x)=
（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，求f（x）的表达式；
（2）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a2+b2的最小值．
正确答案
（1）根据导数的几何意义知f（x）=g'（x）=x2+ax-b
由已知-2、4是方程x2+ax-b=0的两个实数
由韦达定理，
（2）g（x）在区间[-1，3]上是单调减函数，
所以在[-1，3]区间上恒有f（x）=g'（x）=x2+ax-b≤0，即f（x）=x2+ax-b≤0在[-1，3]恒成立
这只需满足
而a2+b2可视为平面区域
所以当
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