热门试卷

(1)切线方程为和.(2)的最大值是.（3）详见解析.

试题分析：(1)一般地，曲线在点处的切线方程为：.注意，此题是求过原点的切线，而不是求在原点处切线方程，而该曲线又过原点，故有原点为切点和原点不为切点两种情况.当原点不为切点时需把切点的坐标设出来.(2)令,则问题转化为对恒成立.注意到,所以如果在单调增,则必有对恒成立.下面就通过导数研究的单调性.（3）不等式可变形为：.为了证这个不等式，首先证；而证这个不等式可利用导数证明.故令，然后利用导数求在区间上范围即可.

试题解析：(1).若切点为原点,由知切线方程为;

若切点不是原点,设切点为,由于,故由切线过原点知,在内有唯一的根.

又,故切线方程为.

综上所述,所求切线有两条,方程分别为和.

(2)令,则,,显然有,且的导函数为：

.

若,则,由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立.

若,则,由知存在,使得对恒成立,即对恒成立,再由知存在,使得对恒成立,再由便知不能对恒成立.

综上所述,所求的最大值是.

（3）当时，令，则，故当时，恒有，即在单调递减，故，对恒成立.又，故，即对恒有：

，

在此不等式中依次取，得：

，，

，

，

，

…………………………

，

将以上不等式相加得：，即.

（1）函数的单调递减区间是，，递增区间是。

（2）的最小值为。

（3）。

试题分析：函数的定义域为，且   2分

（1）函数

当且时， ；当时，

所以函数的单调递减区间是，，递增区间是  .5分

（2）因为在上为减函数，故在上恒成立

所以当时，

又

故当，即时，

所以于是，故的最小值为             .8分

（3）命题“若，使成立”等价于

“当时，有”

由（2），当时，，所以

问题等价于： “当时，有”            9分

（i）当时，由（2）在上为减函数

则，故

（ii）当时，由于在上为增函数

故的值域为，即

由的单调性值域知

唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以， 

所以，，与矛盾，不合题意

综上，                                            12分

点评：难题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”。确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决。本题的难点在于利用转化思想的灵活应用。

解：（1）设切点P（x1，y1），Q（x1，y1）

由题意可得，kAP==，由导数的几何意义可得，kAP=2x1，

∴=2x1，整理可得，同理可得﹣1=0，

从而可得x1，x2是方程x2﹣2ax﹣1=0的两根，

∴x=a±，k1=，k2=，

∴k1k2==﹣4，

即k1k2为定值﹣4．

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由于y'=2x，故切线AP的方程是：y﹣y1=2x1（x﹣x1），

则﹣y1=2x1（a﹣x1）=2x1a﹣2x12=2x1a﹣2（y1﹣1）

∴y1=2x1a+2，

同理y2=2x2a+2，

则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．

（3）即A（a，0）点到PQ的距离，

要使最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，

而A到直线PQ的距离d===≥，

当且仅当，即a2=时取等号，

∴最小值为．

（Ⅰ）；（Ⅱ） （Ⅲ）见解析.

试题分析：（Ⅰ）由已知在处的切线与直线平行，得且有两个不等实根，从而得出的范围；（Ⅱ）先由导函数得出函数的单调性，确定函数的极小值点，然后由函数的极小值为1得出存在的值；（Ⅲ）先确定的单调性，在上是增函数，故，构造，分别取的值为1、2、3、 、累加即可得证.

试题解析：（Ⅰ）

  由题意

          ①        （1分）

    ②

由①、②可得，

故实数a的取值范围是         （3分）

（Ⅱ）存在               （5分）

由（1）可知，

，且

，

.                  （6分）

             （7分）   

的极小值为1.           （8分）   

（Ⅲ）由

即

故，

则在上是增函数，故，

所以，在上恒为正。.           （10分）

（注：只判断符号，未说明理由的，酌情给分）

当时，，设，则

即：.           （12分）   

上式分别取的值为1、2、3、 、累加得：

，（）

，（）

，（）

，（）

即，，（），当时也成立    （14分）