热门试卷

解：（1）当p=2时，函数

f（1）=2-2-2ln1=0，f'（x）=

曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2

从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），

即y=2x-2。

（2）

令h（x）=px2-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，

只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，

由题意p>0，h（x）=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

∴

只需

即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0，

∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）。

（3）∵在[1，e]上是减函数，

∴x=e时，g（x）min=2

x=1时，g（x）max=2e，

即g（x）∈[2，2e]

①当p＜0时，h（x）=px2-2x+p其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，

且h（0）＜0，

所以f（x）在x∈ [1，e]内是减函数，

当p=0时，h（x）=-2x

因为x∈[1，e]，

所以h（x）＜0，

此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数，

故当p≤0时，f（x）在x∈[1，e]上单调递减=f（1）=0＜2，不合题意；

②当0＜p＜1时，x∈[1，e]

所以f（x）=

又由（2）知当p=1时f（x）在 x∈[1，e]上是增函数，

∴

不合题意；

③当p≥1时，由（2）知f（x）在x∈[1，e]上是增函数

f（1）= 0＜2

又g（x）在x∈[1，e]上是减函数，

故只需f（x）max>g（x）min，x∈[1，e]，

而

g（x）min=2，即

解得

所以实数p的取值范围是。

解：（1）设，对求导得，

故直线的斜率，

当时，不合题意，

所心

圆心为，的斜率

由知，即，

解得，故

所以。

（2）设为上一点，则在该点处的切线方程为

即若该直线与圆相切，

则圆心到该切线的距离为，

即，

化简可得

求解可得

抛物线在点处的切线分别为，

其方程分别为① ②  ③

②－③得，

将代入②得，

故

所以到直线的距离为。

解：（1）；

（2）或；

（3）用导数求最值，可证得。

（1）见解析；（2）；（3）见解析.

试题分析：（1）对于研究非常规的初等函数的最值问题，往往都需要求函数的导数.根据函数导数的正负判断函数的单调性，利用单调性求函数在某个区间上的最值；（2）恒成立问题，一般都需要将常数和变量分离开来（分离常数法）转化为最值问题处理；（3）证明不等式恒成立问题，往往将不等式转化为函数来证明恒成立问题.但有些时候这样转化后不等会乃然很难实现证明，还需对不等式经行恒等变形以达到化简不等式的目的，然后再证.

试题解析：⑴ ，当，，单调递减，

当，，单调递增．               1分

（由于的取值范围不同导致所处的区间函数单调性不同，故对经行分类讨论.）

① ，t无解；                  2分

② ，即时，         3分

③ ，即时，在上单调递增，；

所以                     5分

由题可知:,则.因对于,恒成立，故,

设，则.

单调递增，单调递减.

所以，即.

问题等价于证明(为了利用第（1）小问结论，并考虑到作差做函数证明不方便，下证的最值与最值的关系.)

由（1）可知在的最小值是,当且仅当时取到.

设,则,易得,当且仅当时取到.

从而对于一切,都有恒成立.