- 导数的概念及其几何意义
- 共3697题
若函数f（x）=ax3-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值，且函数f（x）图像上以点A（3，f（3））为切点的切线与直线5x-y+1=0平行。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）以点A（3，f（3））为切点的切线方程；
（3）若方程f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围。
正确答案
解：（1）
由题意知
解得
∴
（2）∵
所以切线方程为
即
（3）由（1）知
令
当x变化时，
∴
∴
函数
若方程
由图像可知：
已知函数f（x）=x-1-alnx（a∈R）。
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x-y-3=0求实数a的值；
（2）求证：f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；
（3）若a<0且对任意x1， x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤4|
正确答案
解：（1）因为
所以
得曲线
由已知
从而1-a=3
∴ 
（2）充分性：∵a=1
∴当
∴函数
当
∴函数
∴
必要性：由
当
∴函数
当
∴
当
∴函数
当
∴函数
∴
∵
∴当
综上
（3）由（2）知当a＜0时，函数f（x）在（0，1]是增函数
而函数f（x）=
不妨设
则
∴
等价于
即
设
则
∴
即
即a不小于
而函数
∴函数
故
又a＜0
故实数a的取值范围为[-3，0）。
设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数
f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”
（I）判断函数
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意
[m，n]
（III）设x1是方程f（x）﹣x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2，x3，当|x2﹣x1|＜1，且|x3﹣x1|＜1时，有|f（x3）﹣f（x2）|＜2．
正确答案
解：（I）因为
又因为当x=0时，f（0）=0，
所以方程f（x）﹣x=0有实数根0．
所以函数
（II）假设方程f（x）﹣x=0存在两个实数根α，β（α≠β），
则f（α）﹣α=0，f（β）﹣β=0不妨设α＜β，根据题意存在数c
使得等式f（β）﹣f（α）=（β﹣α）f'（c）成立．
因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f'（c）=1，
与已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）﹣x=0只有一个实数根；
（III）不妨设x2＜x3，因为f'（x）＞0，
所以f（x）为增函数，
所以f（x2）＜f（x3），
又因为f'（x）﹣1＜0，
所以函数f（x）﹣x为减函数，
所以f（x2）﹣x2＞f（x3）﹣x3，
所以0＜f（x3）﹣f（x2）＜x3﹣x2，
即|f（x3）﹣f（x2）|＜|x3﹣x2|，
所以|f（x3）﹣f（x2）|＜|x3﹣x2|=|x3﹣x1﹣（x2﹣x1）|≤|x3﹣x1|+|x2﹣x1|＜2
已知函数f（x）=
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值
（3）对（2）中的
正确答案
解：（1）
f '（x）=
由已知得
切线的斜率为k=f '（e2）=
（2）由条件知h（x）=
①当a＞0时，令h '（x）=0，解得x=4a2．
当x＞4a2时，h '（x）＞0，h（x）在（4a2，+
②当a
故h（x）的最小值
（3）证明：由（2）知
则
令
当0＜a＜
当a＞
已知a是实数，函数f(x)=21nx+x2-ax(x∈(0，+∞))，
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与圆(x-1)2+y2=1相切，求a的值；
(Ⅱ)若函数f(x)在定义域上存在单调减区间，求a的取值范围；
(Ⅲ)若a=1，对
正确答案
解：(Ⅰ)
又f(1)=1-a，切线方程：y-(1-a)=(4-a)(x-1)，即(4-a)x-y-3=0，
又切线与圆(x-1)2+y2=1相切，得
(Ⅱ)若函数f(x)在定义域上存在单调减区间，(0，∞)使得f′(x)＜0成立不等式
又x＞0，故2x2-ax+2＜0有解，
①当a＜0不可能；
②当a＞0时，Δ=a2-4a＞0，a＞4；
(Ⅲ)若a=1，对
f(x)在[1，e]上的值域为[0，e2-e+2]且g(x)=
g(1)∈[0，e2-e+2]，m-1∈[0，e2-e+2]，即m≥1，
故m的取值范围为e2≤m≤e2-e+3。
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