热门试卷

（Ⅰ），（Ⅱ）当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间是，的单调减区间是． （Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率为在点处的导数值. 由已知得．所以．，（Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域，再导数值的符号确定单调区间. 当时，,所以的单调增区间为．当时,令，得，所以的单调增区间是；令，得，所以的单调减区间是．（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. “当时，恒成立”

等价于“当时，恒成立．”设，只要“当时，成立．”

易得函数在处取得最小值，所以实数的取值范围．

（Ⅰ）由已知得．

因为曲线在点处的切线与直线垂直，

所以．所以．

所以．                                            3分

（Ⅱ）函数的定义域是，．  

（1）当时，成立，所以的单调增区间为．

（2）当时，

令，得，所以的单调增区间是；

令，得，所以的单调减区间是．   

综上所述，当时，的单调增区间为；

当时，的单调增区间是，

的单调减区间是．         8分

（Ⅲ）当时，成立，．    

“当时，恒成立”

等价于“当时，恒成立．”

设，只要“当时，成立．”

．

令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；  

令得，，又因为，所以函数在上为增函数．

所以函数在处取得最小值，且．

所以．  又因为，

所以实数的取值范围．                       13分

（Ⅲ）另解：

（1）当时，由（Ⅱ）可知， 在上单调递增，所以．

所以当时，有成立．

（2）当时， 可得．

由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，

所以在上单调递增，又，所以总有成立．

（3）当时，可得．

由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，

所以函数在处取最小值，

且．

当时，要使成立，只需，

解得．所以．

综上所述，实数的取值范围．

解析：（Ⅰ）由题意得f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）

又，

解得b=0，a=-3或a=1

（Ⅱ）函数f（x）在区间（-1，1）不单调，等价于

导函数f'（x）[是二次函数]，在（-1，1有实数根但无重根．

∵f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，

令f'（x）=0得两根分别为x=a与x=-

若a=-即a=-时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，

当两者不相等时即a≠-时

有a∈（-1，1）或者-∈（-1，1）

解得a∈（-5，1）且a≠-

综上得参数a的取值范围是（-5，-）∪（-，1）

由导数的物理意义：物体作直线运动的方程s=s（t）

则物体在t=t0时的即时速度v=s′（t0）

在t=t0时的加速度a=s″（t0）

∴v=s′（t）=2t+2 　　

a=s″（t）=2

物体在t=2秒时的速度v=s′（2）=（2t+2）|t=2=6

加速度a=s″（t）=2|t=2=2

(1)单调递增；（2）≤a<0或0.

试题分析：本题考查导数的应用，（1）判断讨论函数的单调性，可以求出其导数，然后解不等式，其解集区间是函数的单调增区间，不等式的解集区间是函数的单调减区间；（2）在区间上是增函数，说明不等式在区间上恒成立，本题中可求出，因此不等式，由于，则在上恒成立，即的最小值，记，它是二次函数，要求它的最小值，可分和讨论；（3）题意是不等式在上恒成立，记，则当时，恒成立，求其导数，当时，在上，，为减函数，不恒成立（如），时，此时要讨论与的大小，以便讨论函数的单调性，求出其最小值，因为不等式恒成立，就是.

（1）当a=1时，，

所以，                                2分

因为，所以恒成立，

所以在上单调递增；                                    3分

（2）因为，所以，

因为在[1, 4]上是增函数，所以在[1, 4]上恒成立，

即在[1, 4]上恒成立，①                                5分

令，对称轴为x=1，

因为，所以当时，要使①成立，只需g(1)≥0，解得：a≤1，所以0

当时，要使①成立，只需g(4)≥0，解得：a≥，所以≤a<0，

综上，≤a<0或0

（3）由题意，有在上恒成立，

令，则在上恒成立，②

所以，                        10分

当a<0时，因为x>2，则，所以在上单调递减，

又因为，所以②不恒成立，                12分

当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以只需，解得：，

所以时②恒成立；                                            14分

当时，，此时在上单调递增，

所以，

因为，所以，所以②不恒成立，

综上，实数 的取值范围是：。                        16分