热门试卷

解：（I）设切点P（x1，y1），Q（x1，y1）

由题意可得，kAP==，

由导数的几何意义可得，kAP=2x1，

∴=2x1，

整理可得，

同理可得﹣1=0，

从而可得x1，x2是方程x2﹣2ax﹣1=0的两根，

∴x=a±，k1=，k2=，

∴k1·k2==﹣4，

即k1·k2为定值﹣4．

（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由于y'=2x，

故切线AP的方程是：y﹣y1=2x1（x﹣x1），

则﹣y1=2x1（a﹣x1）=2x1a﹣2x12=2x1a﹣2（y1﹣1）

∴y1=2x1a+2，同理y2=2x2a+2，

则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．

（Ⅲ）即A（a，0）点到PQ的距离，

要使最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，

而A到直线PQ的距离d===≥，

当且仅当，

即a2=时取等号，

∴最小值为．

(1) 1000 ;(2) 6000.

试题分析：（1）先根据题意设生产x件产品的平均成本为y元，再结合平均成本的含义得出函数y的表达式，最后利用导数求出此函数的最小值即可；

（2）先写出利润函数的解析式，再利用导数求出此函数的极值，从而得出函数的最大值，即可解决问题：要使利润最大，应生产多少件产品．.

试题解析：解：（1）设平均成本为元，则，

，令得．

当在附近左侧时；

在附近右侧时，故当时，取极小值，而函数只有一个点使，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．  6分；

（2）利润函数为，，

令，得，当在附近左侧时；在附近右侧时，故当时，取极大值，而函数只有一个点使，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品．      12分；

(1)+,定义域为(0,).

(2)米时,该容器的建造费用最小.

（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).

（Ⅱ）因为+=,所以令得:; 令得:,所以米时,该容器的建造费用最小.

（1）∵g'（x）=e1-x1xe1-x=ex-1（1-x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e2-e函数g（x）在区间（0，e]上的值域为（0，1]…．（3分）

（2）令m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，原问题等价于：对任意的m∈（0，1]f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，故f（x）在[1，e]不可能是单调函数                              …（5分）∵f′(x)=a-(1≤x≤e)

当a≤0时，f′(x)=a-＜0，在区间[1，e]上递减，不合题意

当a≥1时，f'（x）＞0，在区间[1，e]上单调递增，不合题意

当0＜a≤时，f'（x）＜0，在区间[1，e]上单调递减，不合题意

当1＜＜e即＜a＜1时，在区间[1，]上单调递减；在区间[，e]上单递增，

由上可得a∈(，1)，此时必有f（x）的最小值小于等于0且f（x）的最大值大于等于1，而由f(x)min=f()=2+lna≤0可得a≤，则a∈Φ

综上，满足条件的a不存在．…..（8分）

（3）设函数f（x）具备性质“L”，即在点M处地切线斜率等于kAB，不妨设0＜x1＜x2，则kAB===a-，而f（x）在点M处的切线斜率为f′(x0)=f′()=a-，故有=…..（10分）

即ln==，令t=∈(0，1)，则上式化为lnt+-2=0，

令F（t）=lnt+-2，则由F′(t)=-=＞0可得F（t）在（0，1）上单调递增，故F（t）＜F（1）=0，即方程lnt+-2=0无解，所以函数f（x）不具备性质“L”．…（14分）