热门试卷

解：（1）由题意知

∵曲线y= f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切

∴

∴

（2）∵，

∴①当a＜0时，f′（x）>0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点。

②当a>0时，由f′（x）=0可得

i）当时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增；

ii）当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

iii）当时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增

综上可知，是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点。

（Ⅰ）6x+2y﹣1=0（Ⅱ）g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3

试题分析：（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．

解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3

令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1

∴f（1）=﹣，

又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，

故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．

（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x

从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x

令g'（x）=0，则x=0或x=3

∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，

当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，

当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，

∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．

解：（1）当k=2时，f（x）=ln（1+x）-x+x2，f'（x）=

由于f（1）=ln2，

所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

即3x-2y+21n2-3=0；

（2），

当k=0时，

所以，在区间（-1，0）上，f'（x）>0；

在区间（0，+∞）上，f'（x）<0

故f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）

当0＜k＜1时，由

得

所以，在区间（-1，0）和上，f'（x）>0；

在区间上，f'（x）<0

故f（x）的单调递增区间是（-1，0）和，单调递减区间是

当k=1时，

故f（x）的单调递增区间是（-1，+∞）

当k>1时，由

得

所以，在区间和（0，+∞）上，f'（x）>0

在区间上，f'（x）<0

故f（x）的单调递增区间是和（0，+∞）

单调递减区间是。