热门试卷

（1）a＝，b＝5

（2）①M(a)＝

②

解：(1)由P(2，c)为公共切点，

f(x)＝ax2＋1，g(x)＝x3＋bx(a>0)，

得f′(x)＝2ax，k1＝4a，

g′(x)＝3x2＋b，k2＝12＋b.

又f(2)＝4a＋1，g(2)＝8＋2b，

所以，解得a＝，b＝5.

(2)①h(x)＝f(x)＋g(x)

＝x3＋ax2＋bx＋1，

则h′(x)＝3x2＋2ax＋b.

因为函数f(x)＋g(x)的单调减区间为，

所以x∈时，有3x2＋2ax＋b≤0恒成立．

此时x＝－是方程3x2＋2ax＋b＝0的一个根，

所以32＋2a＋b＝0，

得a2＝4b，

所以h(x)＝f(x)＋g(x)

＝x3＋ax2＋a2x＋1.

又函数h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

若－1≤－，即a≤2时，

最大值为h(－1)＝a－；

若－<－1<－时，即2

最大值为h＝1；

若－1≥－时，即a≥6时，

最大值为h＝1，

综上所述，M(a)＝

②由①可知h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

所以h为极大值，h＝1，

h为极小值，h＝－＋1，

因为|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，

又h(0)＝1，所以

即

解得

故实数a的取值范围是.

（1）；（2）；（3）.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力，考查学生的分类讨论思想、函数思想.第一问，对求导，将切点的横坐标代入得到切线的斜率，再将切点的横坐标代入到中，得到切点的纵坐标，利用点斜式得到切线的方程；第二问，在定义域内是增函数，只需在恒成立，对求导，由于分母恒正，只需分子在恒成立，设函数，利用抛物线的性质求出，令即可，解出P的值；第三问，先通过函数的单调性求出的值域，通过对P的讨论研究的单调性，求出的值域，看是否有值大于的最小值为2.

（1）当时，函数，．

，曲线在点处的切线的斜率为．

从而曲线在点处的切线方程为，即．…4分

（2）．

令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．

由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，     只需，即时，

∴在内为增函数，正实数的取值范围是．……9分

（3）∵在上是减函数，

∴时，；时，，即，

①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数．

当时，，因为，所以，，

此时，在内是减函数．

故当时，在上单调递减，不合题意；

②当时，由，所以．

又由（2）知当时，在上是增函数，

∴，不合题意；

③当时，由（2）知在上是增函数，，

又在上是减函数，故只需，，

而，，

即，解得，

所以实数的取值范围是．      14分

（1）；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）先求出与的值，利用点斜式求出相应的切线方程；（2）利用题中的条件结合迭

代法求出函数在区间上的解析式；（3）构造新函数，考

查函数在区间上的单调性，求出函数在区间上

的最小值，于是得到，然后利用分组求和法与错位相减法来证明

题中相应的等式.

（1）时，，，

所以，函数的图象在点处的切线方程为，即；

（2）因为，

所以，当，时，，

；

（3）考虑函数，，，

则，

当时，，单调递减；

当时，；

当时，，单调递增；

所以，当，时，，

当且仅当时，.

所以，，

而，

令，则，

两式相减得，

，

所以，，

故，

所以，，

当且仅当，、、、、时，

，

所以，存在唯一一组实数，、、、、，

使得等式成立.

（Ⅰ）xk=xk﹣1﹣1（2≤k≤n）（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）设出pk﹣1的坐标，求出Qk﹣1，利用导数的几何意义函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令y=0得到xk与xk+1的关系．

（Ⅱ）求出|PkQk|的表达式，利用等比数列的前n项和公式求出和．

解：（Ⅰ）设Pk﹣1（xk﹣1，0），

由y=ex得

点Qk﹣1处切线方程为

由y=0得xk=xk﹣1﹣1（2≤k≤n）．

（Ⅱ）x1=0，xk﹣xk﹣1=﹣1，得xk=﹣（k﹣1），

Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|

=

点评：本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率、考查等比数列的前n项和公式求出和．