热门试卷

（1）；（2）；（3）．

试题分析：（1）应用导数的几何意义，求导数，求斜率，确定切线方程；

（2）由已知确定；

根据得：．

，只需．

应用导数，求函数，，的最大值即得解；

（3）设为在时的图象上的任意一点，可得，，．

由于，得到．

， 的情况，求得的取值范围.

方法比较明确，分类讨论、转化与化归思想的应用，是解决问题的关键.

试题解析：（1），

，

在处的切线方程为：，即                  4分

（2），

，从而                      5分

由得：．

由于时，，且等号不能同时成立，所以，．

从而，为满足题意，必须．                         6分

设，，则．

，，

从而，在上为增函数，

所以，从而．                               9分

（3）设为在时的图象上的任意一点，则

的中点在轴上，的坐标为，

，，所以，，．

由于，所以．                                   11分 

当时，恒成立，；                            12分

当时，，

令，则

，，，从而在上为增函数，由于时，，， 

综上可知，的取值范围是．                                        14分

（1）（2）的最大值为，

（1）由题设，得（），（2分）

当时，，当时，，当时，，

故（8分）

（2）易知当时，为单调递增函数，，（10分）

当时，为单调递减函数，，（12分）

当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，（证明略），得，故的最大值为，此时．（16分）

解：(Ⅰ) 因为函数的图像关于原点对称，

所以对任意恒成立，

即对任意恒成立，

所以恒成立，故，…………………3分

故，

又时，取极小值，所以，且，

所以………………①

……………………②

解得：，；

所以，（）…………………………………………………6分

（Ⅱ）当时，图像上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直.

证明如下：（方法1，用反证法）

①假设在的图像上存在两点，，使得在此两点处的切线互相垂直，由(Ⅰ) 可知，且在两点处的切线斜率均存在.

由假设则有，…………………………8分

从而，

另一方面，，所以，所以，

与前式显然矛盾.所以，

当时，图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.………………12分

（方法2）

设，为的图像上两点，由(Ⅰ) 可知，

且在点和点处的两条切线的斜率均存在.

不妨设在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为，

则，；………………8分

所以 ，

由题意，，

所以，即

综上所述，当时，图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.……12分

略

(1); (2) 时，函数无极值；时，函数在处取得极小值，无极大值．

试题分析：(1) 由a=2得的解析式，进而可求出导数；由导数的几何意义可知：曲线在点处的切线的斜率，从而用直线的点斜式可写出切线方程；(2)由发现：当时方程无解，当时,由,解得，因此需按和分类讨论.

试题解析：函数的定义域为，．

当a=2时,,, 曲线在点处的切线方程为：，即.

由可知:

①当时, ,函数为上增函数,函数无极值;

②当时,由,解得;时,时,

在处取得极小值，且极小值为，无极大值．

综上：当时，函数无极值；

当时，函数在处取得极小值，无极大值．