热门试卷

由有：，

有①②，

由得，即③，

又由得：，即④，

由①，②，③，④得，，

，

．

（I）由题意得，f′（x）=x-a+，

∵在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，

∴在点（2，f（2））处的切线的斜率是，即f′（2）=2-a+=，

解得a=2，

（II）由（I）知，f′（x）=x-a+=，且x＞0，

∵f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，

∴f′（x）=≥0在区间（0，+∞）上恒成立，

即x2-ax+a+1≥0在区间（0，+∞）上恒成立，

设g（x）=x2-ax+a+1，对称轴x=，

则或，解得-1≤a≤0或0＜a＜2+2，

故a的取值范围是-1≤a＜2+2，

（III）“＞1”的几何意义是函数f（x）曲线上任意两点确定的割线斜率k＞1，

即在任一点处的切线斜率k＞1，

即证当-1＜a＜3时，对x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，

∴f′（x）=＞1，且x＞0，即x2-（a+1）x+a+1＞0在（0，+∞）恒成立，

设h（x）=x2-（a+1）x+a+1＞0，且对称轴x=，

由-1＜a＜3得，0＜＜2，

则h(x)min=h()=(

a+1

2

)2-(a+1)+a+1=，

由-1＜a＜3得，＞0，

故结论得证．

令，即，

解得．当时，，当时，．

函数在点处取得极小值，也是最小值为，

即．