导数的概念及其几何意义
共3697题

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导数的概念及其几何意义
共3697题

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题型：简答题

简答题

（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数，使恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

正确答案

（Ⅰ）(1)的单调增区间为和,单调减区间为

(2)当时, ,的单调增区间为

（Ⅱ）时，使恒成立.

(1)先求出,根据定义域,然后讨论对a进行讨论确定单调区间。

（2）解本题的关键是恒成立可转化为恒成立，

令，则只需在恒成立即可.然后再利用导数研究其最值，问题得解。

解：（Ⅰ）函数的定义域为，

…………………………2分

(1)当时，由得，或，由得，

故函数的单调增区间为和,单调减区间为…………4分

(2)当时, ,的单调增区间为…………………………5分

（Ⅱ）恒成立可转化为恒成立，

令，则只需在恒成立即可，………6分

当时，在时，，在时，

的最小值为，由得，

故当时恒成立， ……………………………………9分

当时，，在不能恒成立，……………11分

当时，取有在不能恒成立，…13分

综上所述当时，使恒成立. ………………………14分

题型：简答题

简答题

（本小题满分14分）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求的单调区间；

（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．

正确答案

解：（Ⅰ）当时，

，……………………2分

所以曲线在点处的切线方程为. ……………4分

（Ⅱ），令，解得 ……………6分

因为，以下分两种情况讨论：

（1）若变化时，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是.………8分

（2）若，当变化时，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是……………………………………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，

以下分两种情况讨论：

（1）当时，在（0，1）内单调递减，

所以对任意在区间（0，1）内均存在零点.………………………12分

（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，

若,

. 所以内存在零点.

若.

, 所以内存在零点. …………………13分

所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点.

综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点. …………………14分

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分13分）已知函数

（Ⅰ）求函数在（1, ）的切线方程

（Ⅱ）求函数的极值

（Ⅲ）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线，则称为弦的陪伴切线．已知两点，试求弦的陪伴切线的方程；

正确答案

解：（I）略…………………………………(4分)

（Ⅱ）． ……………………………(6分)

得．当变化时，与变化情况如下表：

当x=1时，取得极小值．没有极大值． ……………………(9分)

（Ⅲ）设切点，则切线的斜率为．

弦AB的斜率为． …(10分)

由已知得，，则=，解得，…………(12分)

所以，弦的伴随切线的方程为：．……(13分)

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

已知函数的图像都过点P（2，0），且在点P处

有相同的切线。

（I）求实数a、b、c的值；

（II）设函数上的最小值。

正确答案

（1）（2）

（I）的图像过P（2，0），

…………2分

…………4分

又

…………6分

（II）,

同理，由…………8分

因此，当；……10分

当 …………12分

题型：简答题

简答题

已知函数在处的切线的斜率为.

（1）求实数的值及函数的最大值；

（2）证明：．

正确答案

（1），不存在；（2）参考解析

试题分析：（1）由函数在处的切线的斜率为，通过求导以及将x=1代入导函数即可得到的值.根据的对函数求导，由定义域的范围即可得到导函数的正负，从而可得函数的单调性.

（2）需证明，由题意可得令=1.即可构造.只需令.即可得到.所以只需证明在单调递减即可.由题意可得结论成立.

（1）由已知可得函数的定义域为

（2分）

在是单调递增

的最大值不存在（6分）

（2）由（1）令，则

,当且仅当时等号成立

令

则

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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