热门试卷

（Ⅰ）f'（x）=-3x2+2ax，要使f（x）在（0，2）上单调递增，

则f'（x）≥0在（0，2）上恒成立  …（2分）

∵f'（x）是开口向下的抛物线∴∴a≥3…（5分）

（Ⅱ）（1）令f′(x)=-3x2+2ax=0，得x1=0，x2=a

∵a＜0，∴y极大值=f（0）=b=1

∴y极小值=f(a)=-a3+a3+1=-3，

∴a=-3

∴f（x）=-x3-3x+1…（9分）

（2）∵当x=0，k=f′（x）=-3x2-3取得最大值-3，

∴函数y=f（x）的图象上斜率最大的切线方程为：y-1=-3（x-0），

即y=-3x+1．

（Ⅲ）∵0≤θ≤，∴tanθ=-3x2+2ax∈[0，1]

据题意 0≤-3x2+3ax≤1在（0，1]上恒成立   …（10分）

由 -3x2+2ax≥0，得a≥x，a≥

由-3x2+2ax≤1，得a≤x+

又x+≥(当且仅当x=时取”=”)，∴a≤…（14分）

综上，a的取值范围是≤a≤…（15分）

(Ⅰ)单调增区间为，减区间为

(Ⅱ) 或

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数符号与函数单调性的关系得到求解，同时考查了导数的几何意义的运用。

（1）由于函数的导函数为二次函数，借助于二次不等式得到增减区间。

（2）利用导数要使得函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，则只要导数恒小于即可，转化为恒成立问题来解得。

因为对任意，恒成立， 所以，解得或， 所以，实数的取值范围为或. 

当箱底边长为时，箱子容积最大，最大容积是.

试题分析：设箱底边长为，则无盖的方底箱子的高，其体积为，从而可得，通过求导，讨论导数的正负得函数的增减性，根据函数的单调性可求体积的最大值.

试题解析：设箱底边长为，则无盖的方底箱子的高，其体积为

则 

令，得，解得(舍去)

当时，；当时，

所以时，单调递增；时，单调递减，所以函数在时取得极大值， 结合实际情况，这个极大值就是函数的最大值.

故当箱底边长为时，箱子容积最大，最大容积是.