- 导数的概念及其几何意义
- 共3697题
下面给出f（x）随x的增大而得到的函数值表：
试回答：
（1）随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
（2）各函数增长的快慢有什么不同？
（3）根据以上结论，体会银行的客户存款的年利率，一般不会高于10%的实际意义．
正确答案
解：（1）随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
（2）各函数增长的快慢不同，其中f（x）=2x增长最快，而且越来越快；f（x）=log2x的增长最慢，而且增长的幅度越来越小．
（3）按复利计算，存款以指数函数增长，如果年利率设置太高，存款的增长越来越快，银行将难以承担利息支出．
解析
解：（1）随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
（2）各函数增长的快慢不同，其中f（x）=2x增长最快，而且越来越快；f（x）=log2x的增长最慢，而且增长的幅度越来越小．
（3）按复利计算，存款以指数函数增长，如果年利率设置太高，存款的增长越来越快，银行将难以承担利息支出．
已知函数
（1）若l1⊥l2，|α-β|=1，求b，c；
（2）若α∈（-3，-2），β∈（0，1），求k1的取值范围．
正确答案
∵l1⊥l2，∴f'（-1）f'（1）=-1
即（2b+c+1）（-2b+c+1）=-1 ①
∵α，β是x2+2bx+c=0的两根
∴α+β=-2b，αβ=c．
又因为|α-β|=1，
∴|α-β|2=（α+β）2-4αβ=4b2-4c=1 ②
由①②得 c=1，b=
（2）∵f'（x）=x2+2bx+c，α∈（-3，-2），β∈（0，1）
∴
则点P（b，c）的取值范围如图中阴影部分所示，
∵k1=-2b+c+1，当直线l1过点A（1，0）时k1=-1，当直线l1过点C（1，-3）时，k1=-4，
∴k1的取值范围是（-4，-1）．（14分）
解析
∵l1⊥l2，∴f'（-1）f'（1）=-1
即（2b+c+1）（-2b+c+1）=-1 ①
∵α，β是x2+2bx+c=0的两根
∴α+β=-2b，αβ=c．
又因为|α-β|=1，
∴|α-β|2=（α+β）2-4αβ=4b2-4c=1 ②
由①②得 c=1，b=
（2）∵f'（x）=x2+2bx+c，α∈（-3，-2），β∈（0，1）
∴
则点P（b，c）的取值范围如图中阴影部分所示，
∵k1=-2b+c+1，当直线l1过点A（1，0）时k1=-1，当直线l1过点C（1，-3）时，k1=-4，
∴k1的取值范围是（-4，-1）．（14分）
航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度h（t）=5t3+30t2+45t+4，其中h的单位为m，t的单位为s．
（1）h（0），h（1），h（2）分别表示什么？
（2）求第2s内的平均速度；
（3）求第2s末的瞬时速度．
正确答案
解：（1）答：h（0）表示航天飞机发射前的高度；
h（1）表示航天飞机升空后1s的高度；
h（2）表示航天飞机升空后2s的高度；
（2）航天飞机升空后第2秒内的平均速度为
答：航天飞机升空后第2秒内的平均速度为125米/秒；
（3）航天飞机升空后在t=2时的位移增量与时间增量的比值为
v=
=
因此，第2s末的瞬时速度为225m/s．
答：航天飞机升空后第2秒末的瞬时速度为225米/秒．
解析
解：（1）答：h（0）表示航天飞机发射前的高度；
h（1）表示航天飞机升空后1s的高度；
h（2）表示航天飞机升空后2s的高度；
（2）航天飞机升空后第2秒内的平均速度为
答：航天飞机升空后第2秒内的平均速度为125米/秒；
（3）航天飞机升空后在t=2时的位移增量与时间增量的比值为
v=
=
因此，第2s末的瞬时速度为225m/s．
答：航天飞机升空后第2秒末的瞬时速度为225米/秒．
已知某质点的位移s与移动时间t满足s=sint，则质点在t=
正确答案
解析
解：∵质点的位移s与移动时间t满足s=sint，
∴s′=cost，
当t=
故质点在他t=
故答案为：
质点运动规律s=t2+3，则在时间（3，3+△t）中，相应的平均速度是（ ）
A6+△t
B6+△t+
C3+△t
D9+△t
正确答案
解析
解：平均速度为
故选A
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