热门试卷

（1）的极大值为，此即为最大值；（2）≥；（3）．

试题分析：（1）依题意，知的定义域为（0，+∞），当时，，

（2′）令=0，  解得．（∵）

因为当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减。所以的极大值为，此即为最大值          4分

（2），，则有≤，在上恒成立，

所以≥，（8′）当时，取得最大值，所以≥          8分

（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，

设，则．令，．

因为，，所以（舍去），，

当时，，在（0，）上单调递减，当时，，在（，+∞）单调递增   当时，=0，取最小值 则既所以，因为，所以（*）设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．因为，所以方程（*）的解为，即，解得．         12分

点评：典型题，切线的斜率，等于在切点的导函数值。利用导数研究函数的极值，一般遵循“求导数、求驻点、研究导数的正负、确定极值”，利用“表解法”，清晰易懂。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，通过研究函数的最值确定参数的范围。

（1）  （2）    （3）

试题分析：（1）∵，∴，得          

当时， ； 当时，。

∴在时取得极小值，故符合。               

（2）当时，对恒成立，在上单调递增，

∴                          

当时，由得，

若，则，∴在上单调递减。

若，则，∴在上单调递增。          

∴在时取得极小值，也是最小值，即。

综上所述，                

（3）∵任意，直线都不是曲线的切线，

∴对恒成立，即的最小值大于，

而的最小值为，∴，故.

点评：深刻理解导数的几何意义及熟练利用导数求极值、最值是解题的关键．分类讨论思想和转化思想是解题常用的思想方法，应熟练掌握．

（Ⅰ）,,；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义求、，利用导数导数法判断单调性，用函数的最值积恒成立求；（Ⅱ）构造新函数，利用导数法求的最小值，利用结合（Ⅰ）中的结论进行证明.

试题解析：（Ⅰ）,,,

,.                                  (2分)

,由于,

所以当时,是增函数,

当时,是减函数,

,

由恒成立，，即恒成立，①     （4分）

令，则，

在上是增函数，上是减函数，

，即，当且仅当时等号成立 .

，

由①②可知，，所以.            (6分)

（Ⅱ）证法一:所求证不等式即为.

设,,

当时,是减函数,

当时,是减函数,

,即.             (8分)

由（Ⅰ）中结论②可知,,,当时,,

从而                    (10分)

.

(或者也可)

即,原不等式成立.                           (12分)

（1）（2）存在一条公切线，切线方程为：

试题分析：（Ⅰ） 依题有：则在上有变号零点；

令，则

当，则；当，则

因此，在处取得极小值。            3分

而，，

易知，

①当存在两个变号零点时，，可得：

②      当存在一个变号零点时，，可得：

综上，当在上存在极值时，的范围为：       6分

(Ⅱ) 当时，，

易知是与的一个公共点。

若有公共切线，则必为切点，∵，∴

可知在处的切线为

而，∴则

可知在处的切线也为

因此，存在一条公切线，切线方程为：。          12分

点评：函数在某区间有极值，则在区间上有变号零点，转化为导函数最大值最小值一正一负，第二问找到两函数的公共点是求解的关键，只需求在该点处的两条切线看其是否相同