热门试卷

(1)  (2)

试题分析：(1) ．

设，，

则

．                                         ……5分

(2) 

.                   ……10分

点评：求复合函数的导数关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程,而求定积分的关键是求导函数的原函数.

（Ⅰ）  （II）     (Ⅲ)见解析

（1）求函数导数得，根据导数的几何意义得就可得到用表示的式子；（2）若在上恒成立，即在上恒成立。构造函数，利用，再讨论的取值范围研究的单调性使的最小值大于等于0可得的取值范围；

（3）由（2）知当时,有,  () 若,有。结合要证的结论，令，。分别把的值代入，得到个不等式依次相加得整理即得结论。本题是与自然数有关的问题也可用数学归纳法证明

（Ⅰ） ，则有，解得…3分

（II）由（Ⅰ）知，

令，

则，……4分

(ⅰ)当时,,

若,则,单调递减，所以即,

故在上不恒成立. …………6分

(ⅱ) 当时,,

若,则,是增函数,所以

即,故当时,. …………8分

综上所述,所求的取值范围为…………9分

(Ⅲ)解法一:

由(Ⅱ)知,当时,有,  ()

令,有且当时, ……10分

令,有

即, …………12分

将上述个不等式依次相加得

整理得…………14分

解法二: 用数学归纳法证明

(1) 当时,左边,右边, 不等式成立.…………10分

(2) 假设时, 不等式成立, 就是

那么

由(Ⅱ)知,当时,有,  ()

令,有,  ()

令,有

所以

即

这就是说，当时, 不等式也成立。…………13分

根据(1)和(2)，可知不等式对任何都成立。