- 导数的概念及其几何意义
- 共3697题
求曲线
正确答案
设切点为
当
∴所求切线方程为
即
导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程
已知函数f（x）=
（1）试用含a的代数式表示b，并求f（x）的单调区间；
（2）令a=-1，设函数f（x）在x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点M （x1，f（x1）），N（x2，f（x2）），P（m，f（m）），x1＜m＜x2，请仔细观察曲线f（x）在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（i）若对任意的t∈（x1，x2），线段MP与曲线f（x）均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
（ii）若存在点Q（n，f（n）），x≤n＜m，使得线段PQ与曲线f（x）有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）。
正确答案
解：（1）依题意，得
由
从而
故
令
①当a>1时，
当x变化时，
由此得，函数f（x）的单调增区间为
②当
故函数f（x）的单调增区间为R；
③当
单调减区间为
综上：当
当
当
（2）（i）由
令
由（1）得f（x）增区间为
所以函数f（x）在
故M（
观察的图象，有如下现象：
①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线f（x）在点P处切线的斜率之差Kmp-
②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp-
③Kmp-
下面给出证明并确定的t最小值
曲线f（x）在点
段MP的斜率Kmp
当Kmp-
直线MP的方程为
令
当
可判断函数f（x）在
又
所以g（x）在
即线段MP与曲线f（x）没有异于M，P的公共点。
当
所以存在
即当
综上，t的最小值为2。
（ii）类似（i）于中的观察，可得m的取值范围为
已知函数
正确答案
设函数
正确答案
已知函数
（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；
（3）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．
正确答案
解：（1）当x＜1时，f（x）=﹣x3+x2+bx+c，则f'（x）=﹣3x2+2x+b． 依题意得：
即
解得b=c=0
（2）由（1）知，
①当﹣1≤x＜1时，
令f'（x）=0得
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
②当1≤x≤2时，f（x）=alnx．
当a≤0时，f（x）≤0，f（x）最大值为0；
当a＞0时，f（x）在[1，2]上单调递增．
∴f（x）在[1，2]最大值为aln2．
综上，当aln2≤2时，即
当aln2＞2时，即
（3）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．
不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），显然t≠1
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
∴
即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）
若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．
若0＜t＜1，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0
即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t＞1．
此时f（t）=alnt，代入（*）式得：
﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0
即
令h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∵t＞1
∴h（t）＞h（1）=0，
∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．
∴对于a＞0，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．
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