热门试卷

解：（I）当a=1时，f（x）=，x∈（0，+∞），

所以f '（x）=x+1+，

因此，f '（1）=3，即曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，

又f（1）=，故y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣=3（x﹣1），

所以曲线，即3x﹣y﹣=0；

（Ⅱ）因为 =，x∈（0，+∞），

令g（x）=x2+（2a﹣1）x+a2，x∈（0，+∞），

（1）当时，g（x）≥0在区间（0，+∞）恒成立，

故当时，f ’（x）≥0在区间（0，+∞）恒成立，

所以，当时，f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；

（2）当时，由g（x）=0，得，

故f（x）=0的两个根为，

①由f '（x）＜0，得x1＜x＜x2，故函数的单调递减区间为（x1，x2）；

②由f '（x）＞0，得0＜x＜x1，或x＞x2，

故函数的单调递增区间为（0，x1）和（x2，+∞）；

故当时，函数的单调增区间为（0，）和（，+∞）；函数的单调递减区间为（，）

综上所述：当时，f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；

时，函数的单调增区间为（0，）和（，+∞）；

函数的单调递减区间为（，）

解：（Ⅰ）因，

又f（x）在x=0处取得极限值，故f′（x）=0，从而b=0，

由曲线y= f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x-2y+1=0相互垂直，

可知该切线斜率为2，

即f′（1）=2，有2a=2，从而a=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

令，

（1）当△=4-4k＜0，即当k＞1时，g′（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数；

（2）当△=4-4k =0，即当k=1时，，

k=1时，g（x）在R上为增函数；

（3）△=4-4k＞0，即当0＜k＜1时，方程有两个不相等实根

，

当x∈时，g′（x）＞0，故g（x）在上为增函数；

当x∈时，g′（x）＜0，故g（x）在上为减函数；

x∈时，g′（x）＞0，故g（x）在上为增函数。

解：(Ⅰ)因，

所以，

即当时，f′（x）取得最小值，

因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为-12，

所以，解得a=±3，

由题设a＜0，所以a=-3。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=-3，因此，，

，

令f′（x）=0，解得，

当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上为增函数；

当x∈（-1，3）时，f′（x）＜0，故f（x）在（-∞，-1）上为减函数；

当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数，

由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），单调递减区间为（-1，3）。