热门试卷

解：（1）当a=﹣3时，f（x）=﹣x3+1对函数求导可得，f'（x）=﹣3x2由导数的几何意义可得，曲线在（1，0）处的切线的斜率k=f'（1）=﹣3

∴过点（1，0）曲线y=f（x）的切线方程为y=﹣3（x﹣1）

即3x+y﹣3=0

（2）对函数求导可得，f'（x）=ax2+（a+3），

①当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增

②当a≤﹣3时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减

③当﹣3＜a＜0，由f'（x）＞0，可得，

即f（x）在（﹣，+）单调递增；

f'（x）≤0，f（x）在（﹣∞，]，[，+∞）单调递减

（3）由（2）得，当﹣3＜a＜0，函数在x=﹣存在极小值，在x=存在极大值

解：（I）当a=﹣1时，f（x）=1nx+x+ ﹣1，x∈（0，+∞），

所以f′（x）= +1﹣ ，

因此，f′（2）=1，即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，

又f（2）=1n2+2，y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣（1n2+2）=x﹣2，

所以曲线，即x﹣y+1n2=0；

（Ⅱ）因为 ，

所以 = ，x∈（0，+∞），

令g（x）=ax2﹣x+1﹣a，x∈（0，+∞），

（1）当a=0时，g（x）=﹣x+1，x∈（0，+∞），

所以，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递增减；

（2）当a≠0时，由g（x）=0，即ax2﹣x+1﹣a=0，解得x1=1，x2= ﹣1．

①当a= 时，x1=x2，g（x）≥0恒成立，

此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；

②当0＜a＜ 时， ﹣1＞1＞0 x∈（0，1）时，g（x）＞0，

此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

x∈（1， ﹣1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

x∈（ ﹣1，+∞）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

③当a＜0时，由于 ﹣1＜0， x∈（0，1）时，g（x）＞0，

此时f′（x）＜0函数f（x）单调递减；

x∈（1，∞）时，g（x）＜0此时函数f′（x）＜0函数f（x）单调递增．

综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；

函数f（x）在（1，+∞）上单调递增

当a= 时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减

当0＜a＜ 时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；

函数f（x）在（1， ﹣1）上单调递增；

函数f（x）在（ ﹣1，+∞）上单调递减．

解：（1）f′（x）=1﹣2ax﹣ ．

由题设，f′（1）=﹣2a=﹣2，a=1，

此时f（1）=0，切线方程为y=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣2=0．

（2）f′（x）=﹣ ，

令△=1﹣8a．

当a≥ 时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减．

当0＜a＜ 时，△＞0，方程2ax2﹣x+1=0有两个不相等的正根x1，x2，

不妨设x1＜x2，

则当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＜0，

当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，这时f（x）不是单调函数．

综上，a的取值范围是[ ，+∞）．

解：（1）因为

所以切线的斜率

又

故所求切线方程为

即。

（2）因为

又x>0，所以当x>2时，；

当0＜x＜2时，

即在上递增

在（0，2）上递减

又

所以在上递增

在上递减

欲f（x）与在区间上均为增函数

则

解得。

（3）原方程等价于

令

则原方程即为

因为当时原方程有唯一解

所以函数与的图象在y轴右侧有唯一的交点

且x＞0

所以当x>4时，

当0＜x＜4时，

即在上递增

在（0，4）上递减

故h（x）在x=4处取得最小值

从而当时原方程有唯一解的充要条件是。