热门试卷

解：∵函数

∴定义域为（0，+∞）

∴ （x＞0）．

（Ⅰ）∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行

∴f'（1）=f'（3）

∴

（Ⅱ）∵ （x＞0）．

∴①当a≤0 时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；

在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，

故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．

②当 时，，在区间（0，2）和 上，f'（x）＞0；

在区间 上f'（x）＜0，

故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是．

③当 时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．

④当时，，在区间 和（2，+∞）上，f'（x）＞0；

在区间 上f'（x）＜0，f（x）的单调递增区间是 和（2，+∞），单调递减区间是．

解：（1）当，

故f'（1）=﹣1+2=1，

所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．

（2）f'（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）=0，解得x=1﹣m或x=1+m．

∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1﹣m，1+m）内是增函数．

函数f（x）在x=1-m处取得极小值f（1﹣m），且f（1﹣m）=，

函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）=．

（3）由题设，，

∴方程有两个相异的实根x1，x2，

故，∵m＞0

解得m，

∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，

故x2＞．

∵对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，

则，

又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，

于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m2﹣＜0，

解得，

∵由上m，

综上，m的取值范围是（，）．

解：（1）设与的公共点为，

∵，，

由题意，，

即，，

得得：或（舍去），

即有。（2），

则，

所以在上为减函数，在上为增函数，

于是函数在时有极小值，

，

无极大值。

（3）由（1）知，令，

则，

当，即时，；

当，即时，；

故在为增函数，在为减函数，

于是在上的极大值即为最大值：，

即b的最大值为。

解：（1）求导函数，可得f'（x）=1﹣

∴f'（1）=1﹣a

∵曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x﹣y=3，

∴1﹣a=3

∴a=﹣2；

（2）f'（x）=1﹣=（x＞0）

当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，

∴f（x）在（0，+ ∞）上单调递增，而f（1）=0

∴x∈（0，1）时，f（x）＜0与f（x）≥0恒成立矛盾

∴a≤0不合题意

当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+ ∞）上单调递增

∴f（x）≥f（a）=a﹣1﹣alna=0

∴a=1．